Wittgenstein n'était pas absolument d'accord avec les théorèmes de Gödel et le paradoxe de Russell
(et il avait raison)
par Alexandre Philippe Bird
(traduction automatique)
En 1956, quelques écrits de Wittgenstein qu'il n'a pas publiés de son vivant sont révélés au public. Ces écrits ont été rassemblés dans le livre Remarks on the Foundations of Mathematics (1956). Là, nous pouvons voir que Wittgenstein avait un certain mécontentement quant à la façon dont les philosophes, les logiciens et les mathématiciens pensaient aux paradoxes, et il a même enregistré quelques raisons polémiques pour ne pas accepter les théorèmes d'incomplétude de Gödel.
Wittgenstein contre Russell
Voici ce que Wittgenstein pensait des paradoxes gênants en logique et en arithmétique :
Si une contradiction était maintenant effectivement trouvée dans l'arithmétique, cela prouverait seulement qu'une arithmétique contenant une telle contradiction pourrait rendre de très bons services ; et il vaudra mieux pour nous modifier notre conception de la certitude requise, que de dire qu'elle n'aurait pas encore réellement été une arithmétique proprement dite . "Mais ce n'est sûrement pas une certitude idéale!" — Idéal dans quel but ? Les règles de l'inférence logique sont des règles du jeu de langage (RMF, Wittgenstein).
Maintenant, pensez avec moi. Si nous essayons de trouver la racine carrée de 4, nous aurions deux réponses possibles : 2 et -2. Cette indétermination nuit-elle à l'arithmétique ? Bien sûr que non. Les nombres naturels et les nombres entiers sont utilisés dans l'économie, par exemple, sans problème.
Mais dans le célèbre paradoxe de Russell, quelque chose de similaire se produit. Dans ce paradoxe, nous ne pouvons pas décider si « l' ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres de lui-même » est ou n'est pas membre de lui-même. Nous trouvons donc une limite formelle dans cet ensemble, tout comme lorsque nous essayons de trouver la racine carrée de 4, ce qui nous conduit à l'indétermination. Est-il illogique ou impossible de traiter mathématiquement l'indétermination ? Non! Comme Wittgenstein l'a dit un jour dans le Tractatus :
Il est aussi impossible de représenter dans le langage quelque chose qui « contredit la logique » qu'il l'est en géométrie de représenter par ses coordonnées une figure qui contredit les lois de l'espace, ou de donner les coordonnées d'un point qui n'existe pas. Wittgenstein (Tractatus 3.032).
Il semble donc, en fait, que l'indétermination du célèbre ensemble paradoxal de Russell nous révèle un autre type d'ensemble. Une sorte d'ensemble qui ne peut pas définir ses propres membres (comme lorsque nous ne pouvons pas décider de la racine carrée de 4).
Wittgenstein contre Gödel
Il y a une lutte permanente entre les adeptes des deux. Pour mieux connaître cette lutte, je recommande les articles suivants [1], [2], [3], qui sont indiqués à la fin de ce texte.
Tout d'abord, nous devons admettre que Wittgenstein n'a pas accordé beaucoup d'attention aux théorèmes de Gödel. Ça c'est sûr. Il semble qu'il ait tout fait pour l'ignorer. Mais, alors, un étudiant lui a demandé un jour, "ne peut-il pas y avoir de vraies propositions qui sont écrites dans ce symbolisme (Gödelien), mais qui ne sont pas prouvables dans le système de Russell?" Et Wittgenstein a répondu, "pourquoi des propositions - de physique, par exemple - ne devraient-elles pas être écrites dans le symbolisme de Russell ?" montrant une réponse très limitée et inhabituelle au premier théorème d'incomplétude de Gödel.
Essayons de mieux comprendre ce qui se passait. Avant d'arriver à la terrifiante conclusion d'incomplétude de Gödel (qu'aucun système formel ne peut prouver que le système lui-même est cohérent et complet), nous devons d'abord comprendre comment les variables propositionnelles sont utilisées dans les règles du langage symbolique de Gödel - qui ont été adaptées des Principia Mathematica de Russell et Whitehead ( 1910) et ont été utilisés pour montrer ce qui se passerait dans tout système formel fermé, y compris ceux que nous utilisons en physique—.
Selon Nagel et Newman, auteurs de Gödel's Proof (1958) , dans le premier théorème de Gödel, si la lettre ' S ' représente une formule, sa négation formelle, à savoir non ' S ', est aussi une formule. Par conséquent, il se produit ce qui suit : si « p est une formule non démontrable », nous aurions également une variable propositionnelle « p est une formule démontrable ». Si nous opérons un système avec les deux formules, nous ne saurions finalement pas si p est une proposition non démontrable ou démontrable.
Mais est-ce ainsi ? Prenons un exemple ici. Analysons s'il y a un menteur ou une personne honnête énonçant la phrase suivante :
Tout ce que je dis est un mensonge.
Avant de supposer vrai ou faux dans cette phrase, ne serait-il pas important de savoir sur quoi ment le menteur autoproclamé ? Ce que je veux dire, c'est qu'il devrait y avoir des exemples de ce qu'il / elle a déjà dit que nous pourrions tester (en regardant la réalité) pour la vérité, la fausseté ou l'indétermination. S'il ne dit aucune déclaration de ce genre, alors, tout ce que nous avons, c'est de l'indétermination.
Ce que j'essaie de dire ici, c'est que Wittgenstein a essayé de souligner, en réponse au travail de Gödel, que nous avons besoin de propositions que nous pouvons tester dans la réalité pour nous aider à déterminer la vérité, la fausseté ou l'indétermination des propositions. Et, puisque les variables propositionnelles tendent à établir sans preuve qu'il peut y avoir des négations valides des propositions fondamentales, nous pouvons dire que Gödel tenait pour acquise la condition d'indécidabilité et d'incomplétude de tout système formel déjà dans les règles de formation du langage de son théorème . Mais Gödel ne s'est pas trompé en faisant cela.
En effet, Wittgenstein était un penseur très pragmatique, il était donc assez naturel pour lui de remettre en question si l'incomplétude de Gödel s'appliquait à la physique.La bonne réponse à cette question, cependant, est à la fois "oui et non" (l'incomplétude peut être et ne peut pas être appliquée à la physique), car les règles de la physique peuvent changer un jour si les règles de l'univers changent également (donc , on peut dire que la physique ne sera peut-être jamais une science achevée). Mais toutes les théories réussies en physique que nous avons aujourd'hui sont basées sur des faits. Par conséquent, ces théories seront toujours celles qui réussissent (elles seront toujours complètes dans un certain sens), une fois qu'elles se sont référées avec précision aux faits (ce qui signifie qu'elles seront toujours celles qui ont atteint des vérités factuelles).
[1] Une note sur le "paragraphe notoire" de Wittgenstein sur le théorème de Gödel (2000) . Par Juliet Floyd et Hilary Putnam dans The Journal of Philosophy , Vol. 97, n° 11 (2000), p. 624–632
[2] Malentendu Gödel : nouveaux arguments sur Wittgenstein et nouvelles remarques de Wittgenstein (2003). Par Victor Rodych dans Dialectica Vol. 57, n° 3 (2003), p. 279–313.
[3] Wittgenstein et Gödel : Une tentative de rendre « l'objection de Wittgenstein » raisonnable (2018). Par Timm Lampert dans Philosophia Mathematica Vol. 26, n° 3 (2018), p. 324–345.