Ludwig Wittgenstein sur la vérité mathématique
Paul Austin Murphy
« Un mathématicien sera forcément horrifié par mes commentaires mathématiques. [] Il a appris à les considérer comme quelque chose de méprisable [].
— Wittgenstein (dans sa Grammaire philosophique , 1932)
Une grande partie de ce que Ludwig Wittgenstein (1889-1951) a écrit est difficile à déchiffrer. Et c'est la principale raison pour laquelle il existe ce que l'on peut (sarcastiquement) appeler une industrie d'interprétation de Wittgenstein . Cela explique également pourquoi de nombreux Wittgensteiniens fidèles deviennent si chauds sous le col lorsque d'autres commentateurs « se trompent sur Wittgenstein ! ». En effet, contrairement à beaucoup d'autres philosophes, une grande partie du débat autour du travail de Wittgenstein ne porte pas sur la question de savoir si ce qu'il a écrit est vrai ou faux, bien argumenté ou mal argumenté, valable ou sans valeur, etc. - mais sur ce qu'il voulait réellement dire .
Lee Braver (dans Groundless Grounds: A Study of Wittgenstein and Heidegger ) met tout cela mieux lorsqu'il a écrit les mots suivants :
« Le style d'écriture [de Wittgenstein] est peut-être le plus obscur de toutes les grandes figures analytiques, ce qui conduit à un état de fait inhabituel : « une des caractéristiques les plus frappantes de la littérature secondaire sur Wittgenstein est le manque flagrant d'accord sur ce qu'il croyait et Pourquoi.' Déjà en 1961, la littérature sur le Tractatus était comparée à l'érudition littéraire en dissension et en masse pure. Sa prose opaque et son argumentation clairsemée ont donné lieu à une industrie artisanale de travaux exégétiques et de controverses savantes [] . »
Ainsi tout cela n'est qu'un préambule à l'essai qui suit. On peut aussi dire que je me débarrasse de mes excuses avant de commencer.
Vérité mathématique et exactitude mathématique
« Les termes « sens » et « non-sens », plutôt que les termes « vrai » et « faux », mettent en évidence la relation entre les propositions mathématiques et non mathématiques. »
— Wittgenstein ( conférences, Cambridge 1932-1935 )
Le "feu Wittgenstein" a soutenu (au moins pour paraphraser ou même pour interpréter ) que si les opérations sur les nombres aboutissent à des vérités , alors ne devrait-il pas aussi être le cas que les nombres eux-mêmes (dans n'importe quel ordre) ont des conditions de vérité ou des références ? (Peut-être que le terme référence convient mieux ici.) En termes simples, chaque numéro ne devrait-il pas correspondre ou faire référence à quelque chose ? Mais si les nombres eux-mêmes n'ont pas de conditions de vérité ou de références , alors comment le concept de vérité peut-il être transféré aux opérationssur les nombres ? Vous ne pouvez certainement pas avoir l'un sans l'autre.
Et tout cela est en grande partie la raison pour laquelle Wittgenstein a mis l'accent sur ce qu'il a appelé la « correction » (ainsi que la « grammaire » mathématique) plutôt que la vérité .
Les opérations sur les nombres tombent également sous le sens de Wittgenstein est la théorie de l' utilisation .
Alors, l' utilisation correcte des nombres implique-t-elle aussi la vérité ?
Il peut y avoir une manière correcte et incorrecte d'opérer sur des nombres ; mais y a-t-il un vrai moyen d'opérer sur les nombres? Les mots « vérité » et « exactitude » ne sont pas, après tout, des synonymes.
Wittgenstein croyait que l'exactitude est déterminée par des règles ; qui sont eux-mêmes le produit de personnes, de conventions et/ou de jeux de langage . La vérité, d'autre part, a été considérée par de nombreux philosophes, mathématiciens et profanes comme étant séparable des esprits, des conventions, etc. (c'est-à-dire, comme dans les divers réalismes philosophiques ).
Wittgenstein lui-même a écrit ce qui suit sur les règles et leur rôle en mathématiques :
"Parce qu'ils sont tous d'accord sur ce qu'ils font, nous l'établissons comme règle et le mettons dans les archives. Ce n'est que lorsque nous l'avons fait que nous sommes arrivés aux mathématiques. L'une des principales raisons de l'adoption de cette norme est que c'est la façon naturelle de le faire, la façon naturelle de procéder — pour tous ces gens. »
Ainsi, selon Wittgenstein, on peut compter de manière correcte ; mais pas d'une manière vraie . La vérité ne pouvait entrer dans l'équation que si les nombres eux-mêmes étaient vrais pour quelque chose d'autre ou s'ils se référaient à autre chose . En d'autres termes, les inscriptions ou symboles doivent avoir des entités auxquelles ils peuvent correspondre ou se référer. Alors seulement, sur une image platonicienne du moins, pourrions-nous parler de vérité en mathématiques.
Bien sûr, beaucoup de gens pensent intuitivement qu'il doit y avoir plus dans les mathématiques que de simples inscriptions/symboles sur la page et les règles correctes (ou la « grammaire » mathématique correcte) pour utiliser ces inscriptions/symboles. (Cette position est généralement appelée formalisme ; bien que Wittgenstein soit allé bien au-delà, disons, du formalisme de David Hilbert .) Mais pensons-nous de la même manière lorsque nous jouons aux échecs ? Attendons-nous que les pièces et les coups correspondent ou se réfèrent d'une manière ou d'une autre à des choses (qu'il s'agisse de personnes ou d'événements) extérieures au jeu d'échecs réel ? On peut admettre que si quelqu'un prend les échecs au pied de la lettre, alors il peut très bien penser en termes de pièces et de mouvements correspondant - ou se référant - à de véritables batailles historiques, à des situations politiques et à des personnages historiques bien connus. (Ceci peut très bien être le cas pour certains individus.) Cependant, de telles relations de correspondance ne sont en fait pas nécessaires lorsque l'on joue aux échecs. En effet, les échecs peuvent être vus en termes purement abstraits malgré le fait que nous jouons le jeu avec des châteaux, des pions, des fous, etc. Des formes plus abstraites (qui n'ont pas de correspondants ou de référents dans - ou vers - le monde extérieur) pourraient facilement devenir les substituts. de châteaux, de pions, etc. Et de telles substitutions n'auraient pas d'impact important sur la nature du jeu lui-même.
Ainsi — sur cette lecture wittgensteinienne — il y a des coups corrects aux échecs ; bien qu'il n'y ait pas de vrais mouvements … Bien sûr, c'est à moins que nous n'utilisions le mot « correct » comme synonyme littéral du mot « vrai » !
[ Remarque : bien que personne ne s'attende à ce que les mots individuels dans une déclaration en langage naturel aient leurs propres conditions de vérité - les noms dans de telles déclarations ont leurs propres références et d'autres mots peuvent avoir leur extension . Peu de gens ont exigé que les connecteurs, les prépositions, etc. aient l'une de ces choses.]
Grammaire mathématique
« Considérez l'article du professeur Hardy (« Preuve mathématique ») et sa remarque selon laquelle « aux propositions mathématiques correspond – dans un certain sens, aussi sophistiqué soit-il – une réalité ». [] Nous pensons à la « réalité » comme quelque chose que nous pouvons indiquer. C'est ceci, cela. Le professeur Hardy compare des propositions mathématiques aux propositions de la physique. Cette comparaison est extrêmement trompeuse.
— Wittgenstein ( Leçons sur les fondements des mathématiques )
Wittgenstein croyait que les énoncés mathématiques sont de nature grammaticale . Ainsi, si la grammaire est en ordre, alors les mathématiques sont correctes . Il a donc développé la citation ci-dessus avec les quelques mots suivants à propos de Blaise Pascal :
« Le mathématicien Pascal admire la beauté d'un théorème en théorie des nombres ; c'est comme s'il admirait un beau phénomène naturel. C'est merveilleux, dit-il, ce que les nombres de propriétés merveilleuses ont. C'est comme s'il admirait les régularités dans une sorte de cristal.
Alors qu'en est-il de la déclaration suivante? -
Les déclarations mathématiques sont correctes parce que de telles déclarations sont vraies .
C'est une riposte possible.
Wittgenstein aurait peut-être simplement renversé cette déclaration et affirmé ce qui suit :
Les énoncés mathématiques sont vrais précisément parce qu'ils sont grammaticalement corrects .
Cela pourrait être admettre que la grammaire mathématique est parasite de la vérité mathématique. Alternativement, ce pourrait être d'admettre que la vérité mathématique est un parasite de la grammaire mathématique. De plus, si Wittgenstein s'est débarrassé de la vérité mathématique, alors peut-être pouvons-nous aussi se passer de la grammaire mathématique… Ou du moins on peut dire qu'il n'y a pas l'un sans l'autre.
Wittgenstein aurait peut-être aussi accepté la vérité mathématique ; mais seulement quand il n'est pas conçu comme une sorte de correspondance avec (ou de référence/relation avec ) des entités abstraites dans un monde platonicien.
Alors, est-il possible de donner un sens à la vérité mathématique lorsqu'elle est encaissée exclusivement en termes de respect de règles grammaticales ?
Pendant longtemps, la vérité elle-même (indépendamment des mathématiques) a été encaissée de bien des manières autres qu'en termes de correspondance (c'est-à-dire comme dans la théorie de la vérité par correspondance ). Alors pourquoi la vérité mathématique serait-elle différente ?
La question est donc la suivante :
La vérité mathématique peut-elle être encaissée uniquement en termes de respect de règles grammaticales ?
Qu'est-ce donc que suivre une règle ?
Est-ce pour se conformer à une norme et/ou à une pratique ?
Utiliser et mentionner : « 2 + 2 = 4 » ≠ 2 + 2 = 4
Dans ce qui suit , il convient de souligner la distinction philosophique et/ou sémantique entre usage et mention . Dans ce cas, la distinction se fait entre l'expression linguistique « 2 + 2 = 4 » et 2 + 2 = 4 . Certes, il est parfois difficile de distinguer les deux (j'ai eu des problèmes dans la dernière section) — du moins dans le contexte suivant et si l'on prend une position largement wittgensteinienne.
En termes très simples, la distinction peut être démontrée lorsqu'il s'agit du mot « chat » :
Utilisation : "Ce chat est très distant."
Mention : « Le mot 'chat' est dérivé de... »
La première phrase fait référence à l'animal appelé « chat » : elle utilise le mot « chat » pour désigner cet animal. La deuxième affirmation concerne le mot « chat ».
Plus pertinent :
Mention : « 2 = 2 = 4 » — une expression linguistique
Utilisation : 2 + 2 = 4 — une équation (abstraite)
(Notez que l' exemple de mention ci-dessus utilise des nombres dans une expression linguistique. Pour faire attention, certains philosophes conseilleraient d'utiliser des nombres ou des mots-nombres comme « deux » et « quatre » au lieu des symboles « 2 » et « 4 ».)
Alors maintenant, prenez cette déclaration (une mention ):
« La déclaration '2 + 2 égale 4' est vraie. »
N'y a-t-il pas une règle qui nous dit que si on additionne 2 et 2, alors le résultat sera le nombre 4 ? Cela dit, il pourrait y avoir une règle qui nous dit ceci :
"L'affirmation '2 + 2 égale 5' est vraie et parfaitement correcte."
C'est-à-dire que lorsque 2 est doublé, un numéro supplémentaire doit être ajouté . Cependant, cette nouvelle règle serait simplement un parasite de la règle selon laquelle 2 + 2 doit être égal à 4 car elle parle, après tout, de l' addition d'un nombre au résultat du doublement du nombre 2. La règle ne le fait pas, sur d'autre part, l'état « 2 + 2 » est égal à 5 : il indique qu'un nombre doit être ajouté à la somme de 4 et 4.
Essayons donc une formulation plus pure.
Prenez l'énoncé (ou même la règle ) que « 2 + 2 égale 5 » sans mentionner l'ajout d'un nombre supplémentaire…
Un dialogue entre un wittgensteinien et un adversaire
Un Wittgensteinien :
« Pourquoi 2 plus 2 ne peuvent-ils pas égaler 5 ? Ou, du moins, pourquoi ne puis-je pas exprimer « 2 plus 2 égale 5 » en règle générale ? En effet, vous supposez simplement que les nombres que j'utilise ont les mêmes propriétés que les nombres que vous utilisez. De toute évidence, si j'utilise mes nombres de la même manière que vous utilisez vos nombres, alors évidemment ma déclaration « 2 + 2 = 5 » sera incorrecte. Cependant, mes numéros ne sont pas les mêmes que vos numéros. Ainsi, dans mon jeu de langage (ou système) 2 + 2 est bien égal à 5. »
Un anti-wittgensteinien :
« Alors vous abusez des concepts arithmétiques [addition] et [égalité] ».
Un Wittgensteinien :
« Oui, si j'utilise les concepts [égalité] et [addition] de la même manière que vous les utilisez, alors évidemment ma déclaration '2 + 2 = 5' sera incorrecte. Mais mes concepts [addition] et [égalité] ne sont pas égaux aux vôtres. Dans mon jeu de langage (ou système), ils fonctionnent différemment.
Un anti-wittgensteinien :
« Mais vous venez de vous contredire. Vous avez dit que vos concepts [addition] et [égalité] ne sont pas « égal » à mes concepts [addition] et [égalité] . Mais vous venez d'utiliser le concept [d'égalité] comme je l'utilise. Vous venez de dire que vos "concepts ne sont pas égaux aux" miens. Et avec ça je suis d'accord. Par conséquent, il s'ensuit que le concept [d'égalité] que vous utilisez dans votre système mathématique n'est pas égal à votre utilisation du concept [d'égalité] lorsque vous l'utilisez pour parler de votre propre « jeu de langage » mathématique. »
Un Wittgensteinien :
"Oui tu as raison. Selon un jeu de langage (c'est-à-dire les mathématiques), j'utilise le concept [l'égalité] d'une certaine manière. Et selon un autre jeu de langage (en parlant de mathématiques ou de métamathématiques), j'utilise le concept - ou du moins le mot - d'une autre manière.
Un anti-wittgensteinien :
« Si tel est le cas, alors comment diable pouvons-nous avoir une conversation appropriée si nous utilisons les mêmes concepts (en fait, des mots ) de différentes manières ? Si vous pouvez arbitrairement stipuler le sens d'un concept de la manière que vous voulez, alors peut-être que nous n'avons pas du tout une conversation sincère. Nous parlerons simplement à contre-courant.
Un Wittgensteinien :
« Non, parce que je sais que le concept [l'égalité]est toujours relatif à un jeu de langage. Par conséquent, si je sais à quel jeu de langage appartient le concept, alors je comprends aussi le concept. Je comprends votre utilisation du mot « égalité » parce que je sais à quels jeux linguistiques il appartient. Par conséquent, je peux vous comprendre et nous ne parlons pas à contre-courant. Tout ce que j'ai besoin de déterminer, c'est le jeu de langage auquel appartient le concept ou le mot. Et même dans mon propre cas, je dois être conscient de la façon dont j'utilise un concept ou un mot particulier. J'ai besoin de savoir quel jeu de langage j'utilise lorsque je converse avec d'autres personnes. Et vous aussi, vous devez savoir à quel jeu de langage les personnes à qui vous parlez jouent, sinon vous parlerez à contre-courant. Vous pouvez bien sûr croire que vous n'appartenez à aucun jeu de langage ou même que votre position est au-delà des jeux de langage. Cependant, une telle position serait unejeu de métalangage ; ce qui serait simplement un autre jeu de langage avec de grandes ambitions.
(*) Voir mon 'Quand Alan Turing et Ludwig Wittgenstein ont discuté du paradoxe du menteur' .