Pour l'amour des mathématiques
L'extraordinaire génie d'Évariste Galois et sa belle théorie
Tôt le matin du 30 mai 1832, un coup de feu fut tiré et l'un des esprits les plus fascinants et mystérieux de l'histoire allait bientôt disparaître. Le seul Éveriste Galois de 20 ans gisait blessé dans l'herbe remplie de rosée
introduction
C'est une histoire d'amour et de mathématiques. L'histoire d'un jeune homme si brillant que ses gribouillages ont lancé l'un des domaines les plus beaux et les plus intéressants des mathématiques, une révolution dans la façon dont nous pensons aux équations et non seulement il a résolu un problème vieux de 350 ans dans le processus, sa théorie a également montré une solution à quelques questions vieilles d'environ 2000 ans et non résolues à l'époque. Nous reviendrons sur tout cela un peu plus tard.
Plus précisément, Galois a examiné des questions sur les racines des polynômes.
À l'époque, les mathématiciens savaient que pour les polynômes de degré 5 ou plus, il n'existe pas de formule générale pour trouver les racines (par laquelle formule, nous entendons une combinaison consistant à prendre des racines n ièmes et à utiliser les 4 opérations fondamentales de l'arithmétique - nous appelons cela résoluble par radicaux ), cependant, Galois a voulu comprendre pourquoi certains polynômes de degré supérieur peuvent être résolus par des radicaux et pourquoi d'autres ne le sont pas.
Par exemple, l'équation x⁵ - 1 = 0 est résoluble. Nous appelons ces solutions les 5 racines de l'unité, et elles se répartissent uniformément autour du cercle unité dans le plan complexe formant les sommets d'un pentagone - assez joliment ajouterai-je ! Ce sont les racines 5 5 ème de 1 .
Ainsi certaines équations polynomiales de degré d ≥ 5 sont en fait résolubles ! Le domaine de la théorie de Galois aborde la question de savoir pourquoi c'est le cas et quelles équations sont résolubles et pas seulement que certaines d'entre elles ne le sont pas.
Le fait que certaines équations polynomiales ne sont pas résolubles par des radicaux a été repris par un autre génie. Un jeune Norvégien du nom de Niel Henrik Abel . En fait, quelques grands mathématiciens ont contribué à ce travail, dont Ruffini et Cauchy, mais aucun d'entre eux ne s'est approché de ce que Galois a fait et personne n'a été près d'expliquer exactement pourquoi.
Dans cet article, nous allons d'abord faire un survol historique et comprendre un peu la vie de Galois, puis nous évoquerons brièvement sa mort prématurée et mystérieuse à seulement 20 ans. Après cela, nous verrons en quoi consistent toutes ces belles mathématiques et pourquoi elles sont si élégantes.
Nous ne pouvons pas couvrir l'ensemble du domaine de la théorie de Galois ici, mais j'espère que je peux vous montrer un aperçu de l'élégance et de la beauté et que cela vous incitera à la poursuivre vous-même.
Évariste Galois
Le 25 octobre 1811, Galois est né. Il s'intéresse aux mathématiques assez tôt dans sa vie et à l'âge de 14 ans il trouve un exemplaire des Éléments de Géométrie de Legendre qu'il lit, dit-on, « comme un roman » et maîtrise dès la première lecture.
A 15 ans, il lisait les papiers originaux de Lagrange dont il s'est probablement beaucoup inspiré.
Même si Galois étudiait dur à son époque, il n'était pas très motivé en classe.
En 1828, il se voit refuser l'entrée à l'École polytechnique, qui était à l'époque la plus prestigieuse institution de mathématiques en France. Apparemment, il a échoué faute d'explications à l'examen oral.
À partir de ce moment, les choses sont allées vite. En 1829, il publie un article sur les fractions continues et à peu près au même moment, il envoie des articles sur les équations polynomiales pour publication. Le critique était l'un des plus grands mathématiciens de l'époque : Augustin-Louis Cauchy .
Cauchy, cependant, n'a pas publié ses articles bien qu'il ait suggéré à Galois de le soumettre pour être considéré pour le Grand Prix de l'Académie.
À ce jour, personne ne sait pourquoi Cauchy ne l'a pas publié. Certains disent qu'il a reconnu l'importance des idées de Galois mais a suggéré quelques modifications avant publication. Certains disent que la politique a joué un rôle (apparemment, Cauchy et Galois avaient des opinions politiques contradictoires, ce qui à cette époque de l'histoire était un gros problème).
Le 28 juillet 1829, le père de Galois décède. Galois avait une relation très étroite avec son père, ce fut donc un énorme chagrin dans sa vie.
en 1830, suite à la suggestion de Cauchy, il soumit un mémoire sur la théorie des équations à un autre géant des mathématiques, à savoir Joseph Fourier. Malheureusement, Fourier mourut peu de temps après et les mémoires furent perdus.
Ce fut bien sûr un revers mais Galois n'abandonna pas si facilement. Plus tard la même année, il publie trois articles. L'un d'eux esquissa ce qui allait devenir la théorie de Galois et l'un d'eux étudia pour la première fois ce que nous appelons aujourd'hui les corps finis qui allaient devenir très importants dans le domaine de la théorie des nombres.
Pour comprendre la situation et la vie de Galois, il faut comprendre ce qui s'est passé en France à ce moment-là. Galois a vécu au milieu des « Trois Glorieuses » aussi connu comme « la deuxième révolution française » et il était très engagé dans cette révolution, dans les combats et les débats. Il participait à des émeutes dans la rue et consacrait son temps aux mathématiques et à la politique.
La mystérieuse mort de Galois
Dans les années qui ont suivi la mort de son père, Galois est devenu de plus en plus violent et il a été arrêté à plusieurs reprises. En janvier 1831, Galois tente à nouveau de publier ses idées mais le grand mathématicien Siméon Denis Poisson trouve son œuvre « incompréhensible ».
Galois, en prison à l'époque, était furieux de ce rejet de Poisson mais, d'une manière ou d'une autre, il a pris les critiques au sérieux cette fois et a commencé à rassembler son travail et à écrire des arguments plus prudents.
Galois a été libéré de prison le 29 avril 1832. Et peu de temps après, il a participé à un duel.
Il y a eu de nombreuses spéculations concernant le fameux duel. Une lettre de Galois 5 jours avant le duel suggère que Galois était amoureux et que le duel était en l'honneur de son amour.
La veille du duel, Galois était tellement convaincu de sa mort imminente qu'il resta éveillé toute la nuit à composer ce qui allait devenir sa plus grande contribution aux mathématiques : la célèbre lettre à Auguste Chevalier exprimant ses idées, ainsi que trois manuscrits joints.
Le mathématicien Hermann Weyl a dit de ce manuscrit :
"Cette lettre, si elle est jugée par la nouveauté et la profondeur des idées qu'elle contient, est peut-être l'écrit le plus substantiel de toute la littérature de l'humanité."
Grands mots d'un grand homme.
Tôt le matin du 30 mai 1832, Galois reçoit une balle dans l'abdomen après quoi il est abandonné par son adversaire.
Il est mort le lendemain matin à seulement 20 ans.
La suite
En 1843 , Joseph Liouville a examiné le manuscrit de Galois et l'a déclaré correct. Il fut finalement publié en 1846, quatorze ans après la mort de Galois.
La théorie a mis encore plus de temps à devenir populaire parmi les mathématiciens et à être bien comprise.
En fait, Liouville a complètement raté le noyau de la théorie des groupes de la méthode de Galois, et ce n'est qu'au tournant du siècle que la théorie a été complètement comprise et établie comme un élément central de l'algèbre abstraite. Il a fallu près d'un siècle pour que cette théorie devienne un élément standard du programme d'études.
La partie la plus célèbre de son manuscrit était une preuve qu'il n'y a pas de formule quintique - c'est-à-dire que les équations polynomiales du cinquième degré et plus ne peuvent généralement pas être résolues par des radicaux.
Comme mentionné ci-dessus, Niels Henrik Abel avait déjà prouvé l'impossibilité d'une "formule quintique" par les radicaux en 1824 mais les méthodes de Galois ont conduit à des recherches plus approfondies dans ce qu'on appelle maintenant la théorie de Galois en son honneur.
Par exemple, on peut l'utiliser pour déterminer, pour toute équation polynomiale, si elle admet une solution par radicaux.
Galois a été le premier à inventer le mot Groupe et à utiliser (presque) la même définition que celle que nous utilisons aujourd'hui dans diverses universités et collèges. Il a développé les concepts de sous-groupe normal et de corps finis dont nous parlerons plus loin.
Essentiellement, il était l'un des pères de la théorie moderne des groupes et de l'algèbre abstraite .
La théorie des groupes est l'étude mathématique de la symétrie. Il est utilisé dans de nombreuses disciplines des mathématiques et de la physique, et l'algèbre abstraite a été appelée "le langage des mathématiques modernes".
Je me souviens clairement quand j'avais un cours de théorie de Galois. J'avais auparavant suivi divers cours d'algèbre abstraite tels que la théorie des groupes, la théorie des anneaux (et des idéaux), la théorie des champs et la théorie des modules (les modules sont des espaces vectoriels (ish) sur des anneaux au lieu de champs) et tout est devenu extrêmement abstrait.
Puis à la théorie de Galois où une grande partie de cela a été appliquée (en particulier la théorie des groupes et la théorie des champs). Enfin, je pouvais utiliser toute cette machinerie abstraite pour réellement prouver pourquoi certaines équations polynomiales n'avaient pas de solutions radicales… Mais ce n'était pas tout.
C'est la raison pour laquelle c'est la belle partie.
Théorie de Galois
La théorie de Galois relie les deux sous-domaines de l'algèbre abstraite ; théorie des groupes et théorie des champs.
Comme mentionné ci-dessus, la naissance de la théorie de Galois a été déclenchée par la question suivante :
Existe-t-il une formule pour les racines d'une équation polynomiale du cinquième degré (ou plus) en termes de coefficients du polynôme, en utilisant uniquement les opérations algébriques habituelles (addition, soustraction, multiplication, division) et l'application de radicaux (racines carrées, racines cubiques, etc.) ?
Le théorème d' Abel-Ruffini fournit un contre-exemple prouvant qu'il existe des équations polynomiales pour lesquelles une telle formule ne peut exister mais la théorie de Galois apporte une réponse beaucoup plus complète et claire à cette question, en expliquant pourquoi il est possible de résoudre certaines équations, dont toutes celles de degré quatre ou moins, et pourquoi ce n'est pas possible pour de nombreuses équations de degré cinq ou plus.
La vision moderne de la théorie de Galois utilise des groupes et des corps. Je vais essayer d'expliquer la théorie sans trop connaître ces théories, mais pour être complet, nous rappellerons brièvement ce que sont ces objets.
Théorie des groupes
La théorie des groupes est l'étude de la symétrie.
Pensez à un carré. Le carré est équipé de certaines symétries - si vous le faites pivoter de 90 degrés, il a le même aspect, de même 180 et 270 degrés. Bien sûr, si vous le faites pivoter de 360 degrés, vous revenez à votre point de départ.
Pour garder une trace de cela, imaginez étiqueter les coins du carré, afin que vous sachiez comment il a été transformé.
Il y a aussi une symétrie de réflexion. Choisissez un axe, disons une ligne passant par le milieu du carré découpant deux rectangles de taille égale. Vous pouvez refléter le carré autour de cette ligne et il aura à nouveau le même aspect, cependant, cette fois, il s'agit d'une transformation différente de la rotation.
Il a également une symétrie triviale (vous ne faites rien).
Pour chaque symétrie, il existe une symétrie inverse : par exemple, une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre de 90 degrés suivie d'une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de 90 degrés s'annulera et équivaut donc à la symétrie triviale.
Ce concept peut être généralisé algébriquement.
Ainsi un groupe est un ensemble G muni d'une opération * telle que :
- Si vous faites l'opération sur deux éléments g, h du groupe, vous obtenez un autre élément g*h du groupe,
- il existe un élément trivial e tel que si vous l'ajoutez à tout autre élément g , vous obtenez à nouveau g , c'est-à-dire g*e = e*g = g et
- pour chaque élément g il existe un élément inverse a tel que g*a = a*g = e .
Dans l'exemple ci-dessus, les éléments du groupe sont les actions de transformations elles-mêmes. Par exemple, la rotation de 90 degrés est un élément du groupe, appelons-le σ et la réflexion est un autre élément du groupe, appelons-le τ.
L'opération est donnée par composition. Nous pouvons donc écrire quelque chose comme σ * τ signifiant d'abord que vous faites un retournement autour de l'axe, puis que vous le faites pivoter. Notez que σ * τ ≠ τ * σ donc dans un groupe l'ordre dans lequel nous opérons les éléments ensemble compte.
Ainsi, le concept de groupes est un moyen d'abstraire la symétrie et il y a beaucoup de ces symétries abstraites (groupes) que nous ne savons pas comment visualiser.
L'un des groupes les plus simples vous est en fait bien connu. L'ensemble des entiers ℤ munis de l'opération d'addition (+) est un groupe !
Lorsque vous additionnez deux nombres entiers, vous obtenez un troisième nombre entier (l'ensemble est stable par rapport à l'addition), vous avez un élément d'identité de 0 qui satisfait k + 0 = 0 + k = k pour chaque k ∈ ℤ, et pour tout k ∈ ℤ, il existe un nombre -k ∈ ℤ tel que k + (-k) = 0 (il y a donc des inverses).
Ainsi ℤ est un groupe. Mais quelle symétrie est capturée par le fait que l'ensemble des entiers par rapport à l'addition est un groupe ? La réponse est la symétrie translationnelle . L'ajout d'un nombre entier par k peut être considéré comme un déplacement de ce nombre de k vers le haut (ou vers le bas si k est négatif) de la droite numérique.
Un sous-groupe H d'un groupe G noté H < G est un sous-ensemble de G qui lui-même constitue un groupe. Nous avons par exemple que l'ensemble des entiers pairs est un sous-groupe des entiers c'est-à-dire 2ℤ < ℤ.
Théorie des champs
Un domaine en mathématiques est un type particulier d' anneau . Vous pouvez considérer un champ comme un ensemble 𝔽 équipé de deux opérations généralement notées + et ⋅ (ce qui n'est pas l'addition et la multiplication habituelles, mais vous verrez pourquoi la notation a du sens maintenant), tel qu'il existe un élément noté 0 ( et appelé zéro ) qui a la propriété que a + 0 = 0 + a = a pour tout a dans 𝔽.
De plus, l'ensemble 𝔽 est un groupe par rapport à + et l'ensemble 𝔽\{0} est aussi un groupe par rapport à ⋅ . De plus, les deux opérations sont liées via la loi distributive a(b + c) = ab + ac où les opérations sont celles du corps 𝔽 (c'est-à-dire que la concaténation signifie ⋅).
D'autres lois bien connues telles que l'existence d'une identité multiplicative 1 et la commutativité des opérations sont également requises dans un corps ie a + b = b + a et ab = ba.
Cela semble probablement familier, mais c'est parce que c'est vraiment le cas. Les nombres réels, complexes et rationnels sont tous des champs par exemple.
Si vous connaissez l'arithmétique modulaire, je peux vous dire que les entiers modulo tout premier p (parfois noté ℤ/pℤ) est un corps - un corps fini ! Ce fut l'une des découvertes de Galois.
Ainsi un champ est un ensemble de "nombres" pour lesquels vous pouvez faire de l'arithmétique de la manière habituelle avec les quatre opérations arithmétiques et où ils ont tous des inverses (sauf pour un inverse multiplicatif de 0 - la division par zéro n'est toujours pas possible dans un champ ) .
Les domaines d'intérêt de la théorie de Galois sont typiquement des domaines qui sont des extensions du domaine des nombres rationnels (fractions de nombres entiers notés ℚ) et sont des sous-domaines des nombres complexes c'est-à-dire ℚ ⊂ 𝔽 ⊂ ℂ tels que 𝔽 ne contient qu'un nombre fini de nombres non rationnels .
Quels sont donc ces champs intermédiaires ? Nous devons ajouter au moins un nombre non rationnel à ℚ pour obtenir un tel champ.
Eh bien, nous savons que √2 n'est pas un nombre rationnel car il ne peut pas être écrit comme une fraction de deux entiers. Nous pourrions ajouter cela aux nombres rationnels, mais pour que ce nouvel ensemble soit un champ, nous aurions besoin de -√2 par exemple, puisque nous avons besoin d'inverses additifs. En fait, nous avons besoin de tous les nombres de la forme a + b√2 où a, b ∈ ℚ.
On appelle cet ensemble une adjonction ou une (simple) extension de corps et on le note ℚ(√2). Vous pouvez vous convaincre que chaque élément du formulaire ci-dessus a des inverses additifs et multiplicatifs.
Vous pouvez voir ℚ(α) comme le plus petit champ contenant tous les nombres rationnels et α. Si α est rationnel, on récupère l'extension triviale ℚ.
Avant de passer à la brillante perspicacité de Galois, nous devons savoir ce qu'est un champ de séparation . Mais c'est en fait très simple.
Considérons un polynôme f de degré n à coefficients rationnels. Nous savons par le théorème fondamental de l'algèbre que f a exactement n racines complexes (en comptant la multiplicité).
On peut donc considérer une extension de champ de ℚ qui contient toutes les racines de f . Le plus petit de ces champs est appelé le champ de séparation du polynôme f . En effet, nous pouvons diviser le polynôme en facteurs linéaires dans ce domaine.
Un automorphisme (d'un champ K) est un mot fantaisiste pour une permutation (des éléments de K) qui préserve la structure du champ. ie Si σ est un automorphisme de K, alors σ (x + y) = σ(x) + σ(y) et σ(xy) = σ(x)σ(y) et σ est une bijection (bijection un et sur).
Soit K une extension de corps de F c'est-à -dire que F est un sous-corps de K . Que l'automorphisme σ de K fixe le corps F signifie que si x ∈ F alors σ(x) = x .
Le théorème fondamental de la théorie de Galois
Étant donné un polynôme, les racines sont reliées par diverses équations algébriques (où l'équation algébrique dans ce contexte signifie des équations polynomiales avec des coefficients rationnels).
L'idée centrale de la théorie de Galois est de considérer les permutations des racines telles que toutes les équations algébriques satisfaites par les racines sont toujours satisfaites après que les racines ont été permutées (réarrangées).
Ces permutations forment ensemble un groupe appelé groupe de Galois du polynôme.
Considérons le polynôme f(x) = x² - 2x - 1 . Ce polynôme a deux racines, à savoir α = 1 + √2 et β = 1 - √2 .
Certaines équations algébriques sont
- α + β = 2
- αβ = -1
Il n'est pas difficile de voir que la commutation de α et β dans ces deux équations les préservera. En fait, toutes les équations algébriques dans les racines α et β seront préservées par cette permutation.
Une façon de comprendre cela de manière informelle est que, d'une manière ou d'une autre, les nombres rationnels ne sont pas capables de faire la différence entre 1 + √2 et 1 - √2.
√2 et -√2 sont également étrangers à un nombre rationnel .
Le groupe de Galois de f est donc bien constitué de deux éléments : la permutation triviale et celle inversant les deux racines c'est-à-dire envoyant 1 + √2 à 1 - √2 et vice versa (et fixant tous les nombres rationnels) . C'est le groupe cyclique d'ordre 2 qui est isomorphe à (cela signifie simplement "le même" dans le jargon mathématique avancé) ℤ/2ℤ.
Dans un contexte moderne, nous pouvons considérer le champ de séparation de f , appelons-le K, supposons que f ait des racines distinctes et définissons le groupe de Galois de f comme étant le groupe de tous les automorphismes de K qui fixe ℚ.
Ce groupe est parfois noté Gal(K/ℚ) où la notation K/F indique une extension de corps K sur un corps de base F qui est fixé par les automorphismes.
Alternativement, ce groupe est constitué de toutes les permutations (des racines de f ) qui préservent toutes les équations algébriques satisfaites par les racines.
Dans l'exemple ci-dessus, nous avons dans cette terminologie l'isomorphisme Gal(ℚ(√2)/ℚ) ≅ ℤ/2ℤ.
Plus généralement, on définit le groupe de Galois d'une extension de corps (extension de Galois) K sur un corps de base F, noté Gal(K/F) , par le groupe des automorphismes de K qui fixent F.
Dans cette nomenclature, le groupe de Galois d'un polynôme f est le groupe de Galois de son champ de séparation.
Pour tout automorphisme σ d'un corps K fixant le corps F ( noté σ ∈ Aut(K/F)) , tout polynôme à coefficients dans F ayant α pour racine a aussi σ(α) pour racine. Alors effectivement un tel automorphisme donne une permutation des racines du polynôme minimal pour α sur F .
C'est d'ailleurs la preuve que si un nombre complexe a + bi est racine d'un polynôme f à coefficients réels, alors son complexe conjugué a - bi est aussi racine de f .
En effet, il existe un automorphisme σ ∈ Aut(ℝ(i)/ℝ) permutant i et -i . Ainsi σ(a+bi) = σ(a) + σ(bi) = a + b σ(i) = a - bi .
Fixant le champ de base à ℚ , le théorème fondamental de la théorie de Galois stipule qu'il existe une correspondance biunivoque entre les sous-groupes du groupe de Galois Gal(K/ℚ) et les champs intermédiaires entre ℚ et K.
Le théorème en dit plus. Étant donné un corps intermédiaire ℚ ⊂ L⊂ K , le sous-groupe correspondant H < Gal(K/ℚ) contient précisément les automorphismes qui fixent L.
Groupes résolubles
Considérons un polynôme f . Si le groupe de Galois correspondant de f est ce qu'on appelle un groupe résoluble, alors le polynôme peut être résolu par radicaux et vice versa. Cela était déjà compris et étudié par Galois lui-même dans le célèbre manuscrit !
Bien sûr, sachez que je dois vous dire ce que signifie résoluble pour un groupe.
Considérons un groupe G et un sous-groupe H < G. On dit que H est un sous-groupe normal de G si pour tout h ∈ H et pour tout g ∈ G d'inverse a ∈ G on a g*h*a ∈ H.
Cela signifie que H est invariant sous l'action (ou conjugaison par éléments) de G.
Il existe une certaine manière de faire une relation d'équivalence dans un groupe en identifiant chaque élément d'un sous-groupe normal H < G par l'élément d'identité et chaque élément de G par rapport à celui-ci. Cela nécessite la théorie des cosets et je ne suppose pas que le lecteur soit familier avec cela, mais cela sort du cadre de cet article, nous allons donc nous débrouiller en disant que cette relation d'équivalence crée un nouveau groupe.
C'est en fait ce qui se passe lorsque vous "mod out" par un nombre n dans ℤ créant un groupe cyclique en identifiant tous les multiples de n avec 0 . Ici, nous utilisons que nℤ est un sous-groupe normal de ℤ car ℤ est un groupe abélien (c'est-à-dire a+b = b+a) et tous les sous-groupes d'un groupe abélien sont normaux !
Vous pouvez le faire de manière abstraite pour tout sous-groupe normal H < G. Le groupe résultant est noté G/H et on dit en fait « G mod H ».
Maintenant, si un groupe G contient une chaîne de sous-groupes normaux imbriqués {e} = H0 < H1 < H2 < ⋅⋅⋅ < Hk = G tel que pour chaque i ∈ {0, 1, 2, …, k-1} on have Hi+1/Hi est abélien, on appelle G résoluble.
Cela conclut enfin comment la théorie de Galois est liée à la solvabilité des polynômes.
On peut facilement trouver un exemple de polynôme spécifique à coefficients rationnels dont on peut prouver qu'il n'est pas résoluble par radicaux en étudiant le groupe de Galois correspondant.
Un tel polynôme est par exemple : f(x) = x⁵ - 6x + 3 . Il s'avère que l'on peut utiliser le théorème de la valeur moyenne avec un peu de magie pour montrer que le groupe de Galois correspondant est le groupe de permutation sur cinq lettres . Ce n'est pas un groupe résoluble et donc f n'est pas résoluble par des radicaux !
Sommaire et conclusion
La beauté de la théorie de Galois est que nous pouvons associer à chaque polynôme un groupe contenant des informations algébriques sur les racines du polynôme. En étudiant ce groupe, nous pouvons traduire cette information algébrique dans le monde des polynômes.
J'ai mentionné plus haut que nous pouvons utiliser cette théorie pour prouver certains problèmes très anciens.
Les deux problèmes de « doubler le cube » et de « carrer le cercle » ont finalement été prouvés impossibles et expliqués comme un sous-produit de la théorie de Galois. Tout cela a à voir avec les extensions de champ rationnelles ci-dessus.
Par exemple, la quadrature du cercle équivaut à montrer que π est une racine d'un polynôme à coefficients rationnels, mais ce n'est pas le cas ! π est transcendantal. Par conséquent, π ne se situe pas dans une extension de corps algébrique finie sur ℚ.
Il existe un argument similaire pour doubler le cube concernant le "degré" de l'extension de champ de ℚ adjacent à la racine cubique de 2, mais je vous laisse le soin de poursuivre si vous le souhaitez.
Éveriste Galois était, à n'en pas douter, un génie de premier ordre. Les temps et les circonstances lui ont rendu la tâche difficile et sa nature ondulatoire était considérée comme irrespectueuse dans la communauté mathématique de l'époque (et dans un certain sens, elle ne serait toujours pas bien reçue) car en mathématiques, il faut être très prudent et très précis. . Les mathématiciens utilisent le mot « rigueur » pour exprimer cela.
Cela ne signifie cependant pas que sa théorie n'était pas juste - elle l'était ! Et c'est beau. La théorie de Galois est utilisée dans de nombreuses branches différentes des mathématiques de nos jours, y compris dans la preuve du dernier théorème de Fermat par Andrew Wiles et dans la théorie algébrique des nombres, etc.
L'idée d'utiliser des groupes pour exprimer une autre structure était brillante et est maintenant utilisée dans de nombreux domaines tels que la topologie algébrique où nous pouvons obtenir des informations sur un espace topologique en étudiant un groupe correspondant ou en géométrie algébrique où l'ensemble solution de polynômes est étudié en utilisant la théorie des anneaux et la théorie des idéaux. Les points sur les courbes elliptiques constituent des groupes et je pourrais continuer…
Si vous êtes toujours avec moi cher lecteur, j'espère que vous avez apprécié la balade. S'il vous plaît, sachez que j'ai.
Merci d'avoir lu.
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