Mathematical Phenomenology
(traduction automatique)
La phénoménologie est l'étude des apparences. Considérons un exemple du type le plus simple: la situation d'une personne regardant attentivement un objet physique, comme une tasse de café. Il y a deux parties de la situation. L'un est la tasse elle-même. Une autre est la vision de la coupe, la coupe telle qu'elle apparaît au spectateur. Le premier est une chose physique, et le second une chose mentale. (Peut-être que la chose mentale émerge de la chose physique qui est un cerveau, mais elle est toujours d'un caractère et d'une structure différents de la tasse elle-même.) La chose mentale est appelée un phénomène (phénomènes au pluriel), dans le jargon de l'école de philosophie dite phénoménologie , fondée sous sa forme moderne par Edmund Husserl au début du XXe siècle.
Si le phénomène provient d'un objet vu dans le monde, comme dans cet exemple, alors on peut dire que le phénomène a un contenu spatial : il comprend une estimation de la forme de l'objet, une structure hiérarchique perçue des parties, chacune avec sa propre estimation de forme et le placement. L'objet est également placé dans l'espace par rapport à d'autres objets, y compris le propre corps du spectateur. L'espace auquel je me réfère est l'espace phénoménal - l'espace tel que nous le vivons dans notre esprit. Enfin, si l'objet peut être identifié - disons comme un arbre, une tasse ou une chaussure, alors cette identification est présente dans le phénomène.
L'espace phénoménal est-il le même que l'espace « réel » tel qu'Euclide, Descartes, Newton et Einstein nous l'ont donné pour le comprendre ? Bien sûr que non! D'une part, la courbure découverte par Einstein n'entre pas en ligne de compte. Mais les différences vont au-delà. Toutes les choses dans l'espace phénoménal sont de nature finie - ce sont des approximations si c'est le mot juste. Aucune position n'a une précision infinie, très loin de là. De plus, l'espace perçu est centré sur le corps de celui qui perçoit et ne contient que les choses visibles depuis cette position et cette direction du regard. L'espace perçu n'est qu'une sorte d'espace phénoménal. Il y a aussi des mémoires spatiales, des anticipations et des imaginaires. Mais chacun d'eux est modelé sur l'espace perceptif, avec une dégradation du détail. Leur structure est la même.
L'espace phénoménal est occupé par des objets phénoménaux, c'est-à-dire par les phénomènes qui découlent de la perception d'objets physiques. La plupart d'entre eux se voient attribuer des catégories (chaussures, arbres, tasses, etc.). Cette partition de ce qui est vu en phénomènes individuels avec leurs catégories est quelque chose d'imposé par l'esprit. L'espace d'un physicien n'est occupé que par des champs quantiques .
Enfin, les phénomènes contiennent des motifs — répétitions régulières, grilles, textures, motifs musicaux, etc. Comme nous le verrons bientôt, ces modèles ne peuvent pas être identifiés avec la structure qui se produit dans les objets qui donnent lieu aux phénomènes ; les modèles vivent dans les phénomènes.
Malgré cela, l'espace phénoménal conserve une partie de la structure de l'espace extérieur. C'est toujours en trois dimensions — il y a toujours du haut et du bas, d'un côté à l'autre, de près et de loin. Les objets rigides se transforment de la même manière, via des translations et des rotations. La distance a du sens dans les deux domaines. Etc.
L'important est de réaliser que l'espace phénoménal est quelque chose de réel en soi et distinct de l'espace newtonien. Cependant, l'espace phénoménal partage une certaine structure mathématique avec l'espace externe. Les concepts qui nous aident à comprendre ces derniers s'appliquent aux premiers.
De plus, nous pouvons étudier ces propriétés sans nous mêler aux qualia . Voici une explication de ce dernier concept :
Les objets phénoménaux ont de la couleur. La couleur n'est pas une substance de la physique, bien qu'il existe un lien complexe entre la couleur telle qu'elle est vécue et la physique de la lumière et son interaction avec les surfaces. Le rouge, par exemple, est le nom d'une propriété phénoménale. Il a sa propre nature spécifique, et est directement présent à notre esprit lors de la visualisation d'un objet rouge. Cela semble une substance primitive de notre expérience. Elle est ineffable dans le sens où elle ne pourrait jamais être expliquée à un aveugle. La communication à ce sujet parmi les personnes voyantes repose sur l'identification de points communs dans l'expérience. Les couleurs sont définies en pointant plutôt qu'en décrivant. Dans la philosophie de l'esprit, le rouge est appelé « quale » (pluriel « qualia »). Quelle est cette substance mystérieuse, et comment peut-elle provenir de neurones qui s'activent dans l'obscurité de nos crânes ? Cela correspond à la question générale : "Comment l'expérience peut-elle surgir du monde physique ?". Cet ancien problème a été connu ces derniers temps sous le nom dedifficile problème de conscience .
Mon point est que nous pouvons étudier la structure des phénomènes, tels que les phénomènes spatiaux, sans nous mêler aux qualia. On peut partir de cette position : Oui, l'expérience existe. Oui, il possède une structure mathématique. Oui, nous pouvons enquêter sur cette structure. Non, le problème des qualia n'est pas ainsi abordé. Ainsi, rien ne prétend que la structure mathématique donnera jamais un compte rendu complet des phénomènes - il semble évident d'après les qualia que ce n'est pas possible. Et peut-être y a-t-il d'autres aspects que les qualia qui échappent à la portée de la pensée mathématique. Pourtant, la structure mathématique est présente dans les phénomènes et peut être étudiée pour elle-même. Ce genre d'enquête est ce que j'appelle la phénoménologie mathématique. Le problème des phénomènes est ainsi cloisonné enstructure (mathématique) et substance (qualia), et cette dernière est laissée pour un autre temps.
A côté : il y a aussi le projet d'enquêter sur les phénomènes impliqués dans la pensée mathématique, c'est-à-dire la phénoménologie des mathématiques. Ce n'est pas l'entreprise dont il s'agit ici. Je m'intéresse plutôt à l'utilisation des mathématiques dans l'étude de phénomènes de toute nature.
Comme vous le verrez plus loin dans cette note, la phénoménologie mathématique, en combinaison avec le réalisme mathématique, peut faire la lumière sur le problème difficile, même si les qualia ne sont pas touchées.
Il existe un autre aspect de la structure mathématique des phénomènes au-delà de la géométrie 3D : le motif. Nous sommes aussi habiles à introduire cet aspect dans nos phénomènes que c'est le cas pour la géométrie tridimensionnelle ou la catégorisation des objets. Cette imposition de motifs est présente pour la perception d'images bidimensionnelles, un contexte plus simple dans lequel étudier le processus que le monde 3D naturel. Considérez l'image suivante.
Cette image présente un motif d'un genre abstrait. D'un coup d'œil, vous savez tout. Si je vous demandais de le décrire, vous arriveriez probablement à quelque chose comme : « C'est une grille avec de courtes lignes horizontales rouges au centre des cellules. Des lignes blanches constituées des limites gauche et supérieure des cellules de la grille zigzaguent vers le haut et vers la droite à travers la grille, mais il y a aussi une bande horizontale à mi-hauteur où les quatre limites apparaissent sous forme de lignes, et une bande verticale à mi-chemin avec le même biens. ” Tous ces aspects sont disponibles dans votre expérience de l'image en une seconde environ après la voir. Ceci est très proche d'une description mathématique exacte de l'image, en ce sens qu'elle pourrait facilement être rendue en termes mathématiques par une personne connaissant la géométrie analytique.et en termes totalement formels par quelqu'un qui est également familier avec la théorie des ensembles axiomatique (par exemple ZF ). C'est-à-dire que le phénomène que l'image induit dans votre esprit a une structure mathématique , et cette structure est construite immédiatement lorsque l'on s'occupe de l'image. Si ce n'était pas le cas, une telle description ne serait pas possible.
Notez que je pratique la phénoménologie, pas la psychologie, ici. La principale technique de l'investigation phénoménologique est d'être attentif à ses propres phénomènes exactement tels qu'ils se présentent. La technique fait également appel au « bracketing ». Bracketingconsiste à écarter toute considération des objets extérieurs qui donnent lieu aux phénomènes, et même de savoir s'il y a de tels objets extérieurs. Ce ne sont pas ces extérieurs qui sont le sujet d'investigation, mais les phénomènes, tels qu'ils sont. En considérant le phénomène associé à l'image 1, j'ai pu déceler sa nature mathématique. Pour ce faire, il a fallu une certaine formation mathématique de ma part, mais le phénomène en lui-même a cette nature indépendante de la formation mathématique de l'individu chez qui il se produit. Le phénomène doit avoir une nature mathématique pour tout le monde, parce que tout le monde peut proposer le genre de description à laquelle j'ai fait allusion, mais seuls ceux qui ont une formation mathématique détecteront la nature mathématique de la description.
Husserl appelle le point de vue que l'on prend dans la vie de tous les jours quand on ne philosophe pas « l'attitude naturelle ». Dans cet état d'esprit, vous avez l'impression de voir les objets et les images « tels qu'ils sont » ; il n'y a pas de pensée d'un phénomène séparé de ce qui est vu. Mais, en philosophant à nouveau, on voit que le phénomène et l'image ont des contenus très différents, comme le montrera l'exemple suivant.
Les images de gauche et de droite sont-elles différentes ? Ils le sont, mais cela nécessite une étude. Les phénomènes qui découlent immédiatement des deux images sont identiques. En fait, il y a 69 différences dans les angles des lignes. Ceci n'est pas apparent car le phénomène commun auquel donnent lieu les deux images ne contient pas les orientations des segments de ligne individuels. Au lieu de cela, le phénomène est capturé par la description « une grille carrée de segments de lignes blanches orientés au hasard sur un champ de noir ». Par aléatoire, on entend : « sans motif que je puisse détecter ». Encore une fois, cela est proche d'une description mathématique complète. Ce qui manque, c'est la longueur et la largeur exactes des lignes en tant que fraction de la taille des cellules de la grille et la dimension de la grille par nombre de cellules. Ces détails sont présents dans le phénomène sous forme d'estimations approximatives, et non de quantités exactes.
Autre chose que j'ai omis : à tout moment je suis conscient des orientations de quelques segments de ligne en position fovéale, mais seulement si j'y fais attention, et seulement jusqu'à ce que je bouge les yeux (via une saccade ). La chose importante à réaliser est que le phénomène est une description de l'image, pas une copie. La nature de la description est, encore une fois, mathématique.
Malgré les angles manquants dans le phénomène, il semble bien, dans l'attitude naturelle, que toutes ces raies me soient présentes , même si je n'y connais rien à part la propriété « orientée au hasard ». Cela montre que le sentiment de présence et la présence effective dans les phénomènes sont deux choses différentes. Daniel Dennett appelle la première « la représentation de la présence » et la seconde, « la présence de la représentation ». Pour répéter : présent dans le phénomène sont 1) la description, et 2) une capture détaillée de la partie de l'image qui est projetée sur la fovéa. Le détail est écrasé à chaque changement de regard. Cependant, la description persiste plus longtemps, car elle est conservée dans la mémoire visuelle à court terme. La représentation de la présence est le sentiment illusoire que les images nous sont présentées en détail. Voir ce paragraphe pour une formulation concise des vues de Dennett.
Il manque autre chose au phénomène : les motifs surlignés en rouge ci-dessous :
Les images 4 et 5 sont identiques aux images 2 et 3, à l'exception du surlignage rouge . De là, nous voyons que des motifs d'un genre simple étaient présents dans les images 2 et 3, mais pas présents dans les phénomènes initiaux . Cela rend le point simple mais important que les modèles que nous voyons résident dans nos esprits. La présence d'un motif dans le monde extérieur, aussi simple soit-il, n'est pas une garantie de son arrivée dans les phénomènes. Cela va aussi dans l'autre sens : des modèles peuvent apparaître dans nos phénomènes qui n'ont pas d'équivalent dans le monde extérieur. C'est l' apophénie . Pour paraphraser Luc 17 : 21 , le royaume du modèle est en vous.
Neurosciences, émergence et réalisme mathématique
Maintenant, je vais changer de vitesse complètement. Au lieu d'adopter le point de vue phénoménologique, dans lequel les phénomènes sont étudiés de l'intérieur tels qu'ils nous apparaissent, je passerai au point de vue extérieur - le point de vue du scientifique qui étudie le cerveau en tant que système physique. Mais je n'oublierai pas les résultats de mes investigations phénoménologiques. Même vu de l'extérieur, nous devons comprendre pourquoi les systèmes biologiques (nous, les humains) rapportent des phénomènes, et les formes que prennent ces rapports.
Considérons à nouveau les différentes structures mathématiques associées aux images 1-5. Une spéculation est que ces structures sont codées dans l'activité de mon cerveau lorsque j'assiste aux images. Une formulation équivalente est que les structures sont des entités émergentes de l'activité cérébrale.
Quelle pourrait être la nature de cette émergence/encodage ? Il est prématuré de faire des réclamations concrètes. Seuls des types très simples d'encodages du contenu mental par l'activité neuronale sont actuellement compris.
Je ne prétends en aucun cas que le cerveau ressemble à un ordinateur, sauf que les idées d'encodage et d'émergence s'appliquent. Mais pour expliquer ce que j'entends par émergence, il est utile de considérer une analogie avec l'informatique. Considérons un ordinateur exécutant un logiciel CGI (imagerie générée par ordinateur) et affichant une sphère texturée. L'activité de ce système peut être décrite à plusieurs niveaux :
Chacun de ces niveaux est indépendant de ceux du dessus et du dessous en ce que les lois qui régissent chaque niveau, et nous rendent son activité compréhensible, peuvent être formulées sans mentionner les autres niveaux. L'utilisateur du système CGI n'a pas besoin de connaître la programmation, la personne qui écrit le code source n'a pas besoin de connaître le code machine, ni la conception de circuits, ni la physique pertinente, etc. Ces descriptions différentes s'appliquent au même objet.
Ces niveaux de description existent objectivement indépendamment de tout observateur. Une mesure objective de l'émergence est l' information effective (EI) d' Eric Hoel , qui, grosso modo, caractérise les niveaux d'un système par le degré auquel ils préservent l'information dans le temps. Si un système H est défini en termes d'un système de niveau inférieur L - comme les circuits (H) sont définis en termes de physique (L) - le premier peut posséder des informations plus efficaces que le second, même si le dernier niveau incorpore beaucoup plus de détails . L'IE fournit une mesure du degré auquel un niveau de description proposé a sa propre cohérence, indépendamment de sa base dans les niveaux inférieurs. L'exemple ci-dessus de l'infographie fournit des exemples extrêmes. Les niveaux intermédiaires sont parfaitement causals : le passé déterminel'avenir via les lois de fonctionnement qui se rapportent aux niveaux du circuit, de la machine et du code source. L'existence de ces niveaux de causalité est un fait mathématique objectif sur le système, aucun observateur n'est nécessaire. (Soit dit en passant, une IE élevée ne nécessite pas de déterminisme).
Le cerveau pourrait admettre ce genre de description en couches. En effet, il est déjà connu. Certains neuroscientifiques étudient le cerveau au niveau de la biochimie, d'autres au niveau du déclenchement de neurones individuels, d'autres au niveau de circuits impliquant de nombreux neurones. Ces niveaux ne sont pas aussi strictement séparables que dans le cas de notre infographie, mais une analyse causale à différents niveaux est toujours possible. Beaucoup de ces niveaux restent à découvrir, très probablement.
Pour compléter cette investigation des phénomènes de l'extérieur, j'ai besoin d'un ingrédient de plus : le réalisme mathématique.
Le réalisme mathématique (également appelé platonisme mathématique) est le point de vue selon lequel les structures mathématiques existent indépendamment de l'esprit. D'autres positions considèrent les mathématiques et leurs objets comme, dans un sens ou dans un autre, des créations ou des interprétations humaines. Les nominalistes nient l'existence d'objets mathématiques et proposent des reformulations d'énoncés mathématiques en d'autres termes. Les intuitionnistes considèrent les objets mathématiques comme des constructions mentales. Le réalisme mathématique n'est pas monolithique. Par exemple, les finitistes adoptent une vision réaliste des objets mathématiques finis tels que des milliers de milliards de chiffres ou le groupe de monstres, mais pas des infinis complétés. Notez que même le réalisme des finitistes est fou d'une certaine manière, en ce sens qu'il postule l'existence d'un nombre illimité de structures mathématiques qui sont plus grandes et plus complexes que l'univers physique.
Bien que je sois moi-même un mathématicien réaliste, je ne discuterai pas le cas ici, mais discuterai d'une conséquence du réalisme : il fournit une façon de penser à la substance dont sont constitués les phénomènes.
Un réaliste mathématique peut visualiser une sorte de nuage de mathématiques autour des choses physiques. Ce nuage se compose des objets mathématiques qui présentent des corrélations systématiques avec les choses en question. Cela soutient la manière suivante de parler de la structure mathématique de la réalité physique. On interprète « la chose physique X présente la structure mathématique Y », comme signifiant « il existe la structure mathématique Y qui présente telle ou telle corrélation avec l'objet physique X ». Cette façon de poser les choses prend le sens du réalisme vers l'objet mathématique : c'est un existant à part entière qui se corrèle au physique. Par exemple, pour chaque particule élémentaire il y a le groupe de Lie correspondant. En fait, les physiciens utilisent presque toujours les formulations du réalisme mathématique. Cela peut sembler une distinction sans différence, mais s'il vous plaît lisez la suite.
Considérons maintenant une structure qui présente des niveaux de description, comme dans l'exemple d'infographie ci-dessus. Les niveaux sont des structures mathématiques revêtant le système physique. Du point de vue du réaliste mathématique, ces structures existent — et cela est aussi vrai pour les niveaux supérieurs que pour les niveaux inférieurs. De plus, ce sont, dans le cas de notre exemple CGI, des structures causales, dont le comportement est déterminé dans le temps par des lois qui opèrent à leur propre niveau .
Le problème difficile reformulé
Maintenant pour l'hypothèse : supposons que le cerveau admet de multiples niveaux de description, et que les structures mathématiques que nous appréhendons dans les phénomènes existent réellement au sens du réaliste mathématique, à un certain niveau. Ces structures ne seraient- elles pas réellement le phénomène, au moins en partie ? Une telle hypothèse ne résout pas le difficile problème de la conscience. Cela ne dit rien sur les qualia. Mais c'est pertinent pour le problème, dans la mesure où la question « pourquoi est-ce que c'est comme quelque chose d' être un système biologique ? » est remplacé par « pourquoi est-ce que c'est comme quelque chose d'être le système de structures mathématiques qui émergent de l'activité du cerveau/du corps ?. Cette dernière question réduit l'écart, en ce sens qu'une plus grande similitude peut être reconnue entre les entités de part et d'autre de l'écart que ce n'est le cas pour la première question. En particulier, les structures des phénomènes que l'on détecte de l'intérieur sont déjà présentes dans les vues de l'extérieur, avec cette reformulation du problème dur. Alors la reformulation se rapproche peut-être d'une réponse (mais seulement pour nous mathématiciens réalistes).
Les phénomènes sont causals
Si les phénomènes sont en partie constitués de structures mathématiques, ce sont des structures à force causale. Les phénomènes sont accessibles par un large éventail de processus mentaux, tels que l' attention , l'évaluation, la mémoire , la prise de décision, la sélection d'actions et le rapport verbal. Leurs propriétés peuvent être interrogées par ces processus. Les phénomènes ressemblent aux structures de données de l'informatique à cet égard - mais je ne veux pas impliquer une quelconque autre similitude.
La conscience doit exister à un seul niveau, puisque son contenu est unifié, comme décrit ci-dessus. Le modèle de conscience de l'espace de travail global , proposé par Bernard Baars en 1988, est pertinent, en raison de sa mise en forme de cette unité. Stephen Dehaene et d'autres ont depuis proposé des implémentations neuronales de l'architecture globale de l'espace de travail.
Tous les phénomènes ont-ils une structure mathématique ?
Jusqu'à présent, les exemples ont été simples. Mais qu'en est-il des images comme celles-ci :
À première vue, cela ressemble à 3 copies de la même image. Autrement dit, les phénomènes initiaux pour les trois images sont les mêmes. Mais l'inspection des détails locaux montrera que la plupart des blocs rectangulaires diffèrent en couleur d'une image à l'autre. Au niveau du pixel, les images sont totalement différentes. Je doute que vous ayez remarqué qu'il y a 9 bandes verticales dans l'image centrale, mais 8 sur les images latérales. (Parce que 8 est au-dessus de votre seuil de sous- titrage ).
Les phénomènes, encore une fois, ne sont pas des copies d'images, mais des descriptions. Dans les exemples précédents, j'étais capable d'articuler des descriptions en anglais et de discerner leur nature mathématique. Ici, je ne peux pas faire ça. Il est clair que les systèmes de description des phénomènes visuels sont immensément complexes. Un aspect parmi tant d'autres : il semble qu'un dictionnaire d'éléments qui se répètent (comme les bandes verticales) soit assemblé, puis le modèle de leur récurrence soit formulé. Il s'agit d'un processus récursif. A chaque étape de la création d'une description, les détails sont remplacés par des résumés.
Pour répéter la question, tous les phénomènes ont-ils une structure mathématique ? Cela peut être le cas de deux manières. Premièrement, il se pourrait que la structure mathématique soit la seule forme que la structure (par opposition à la substance) prenne. Existe-t-il des exceptions connues ? Deuxièmement, les cerveaux pourraient s'appuyer sur une telle structure pour leur rôle dans l'existence - pour préserver la vie de leurs hôtes. Ils pourraient avoir besoin de remplir leurs descriptions de niveau supérieur avec des structures mathématiques (modèles) qui leur permettent de minimiser la surprise, comme Karl Friston l' aurait fait. Il s'agit d'un compte évolutif.
Cela dit, il serait radicalement prématuré de conclure que tous les phénomènes ont une structure qui peut être capturée mathématiquement. Mais certains le font !
Deux variétés de structures causales et leurs modèles
Comme indiqué ci-dessus, les phénomènes sont des structures causales dans la mesure où nous pouvons agir et rendre compte d'eux. Nos exemples ont impliqué des descriptions géométriques et logiques. Les descriptions ne précisent pas les structures exactes, mais les résument.
Il y a un autre type de structure impliqué que les descriptions. Les phénomènes du monde spatial (qui découlent des sens auditifs, kinesthésiques et tactiles, en plus de la vision) sont intégrés dans une théorie générale de l'espace et de l'action spatiale. Cette théorie nous dit qu'à tout moment nous pouvons déplacer notre regard et notre corps pour regarder les choses de plus près et, plus généralement, naviguer dans un contexte spatial. Tout comme les formes et les motifs nous sont présentés via leurs descriptions, nous sommes conscients de la nature partielle de notre vision de tout objet. Nous savons toujours qu'il y a plus dans l'objet que ce que nous pouvons voir (ou toucher) à tout moment, et qu'en utilisant notre corps, ne serait-ce qu'en déplaçant notre regard, nous pouvons accéder à une autre partie de l'objet.
Le mode de fonctionnement de cette théorie n'est pas encore compris, ni la forme qu'elle prend dans l'esprit. Cependant, il est clair qu'il est mêlé à la théorie mathématique de l'espace, tout comme le sont les descriptions d'objets individuels. Je théorise que cet aspect de l'esprit existe au même niveau mathématique que les descriptions d'objets individuels - le niveau de conscience.
Du point de vue du réalisme mathématique, il y a deux aspects de la situation. Les structures mathématiques causales pointent vers des objets mathématiques en dehors du domaine causal. Par exemple, la description « une grille de courts segments de lignes blanches orientés aléatoirement » est une description qui s'applique à un ensemble d'objets mathématiques : l'ensemble infini des dispositions réelles de segments de lignes, avec leurs orientations exactes, auxquels la description s'applique. De même, la théorie générale de l'espace se réfère (entre autres) à ce à quoi les mathématiciens pensent quand ils pensent à l'espace - un continuum infiniment divisible à trois dimensions. Dans le jargon de la logique mathématique, ces objets mathématiques non causals auxquels se réfèrent les descriptions et les théories sont appelés leurs « modèles » .”. Les structures causales sont (vraisemblablement) finies, mais leurs modèles ne le sont pas.
Voici le point : dans l'attitude naturelle, un phénomène se sent présent à nous non pas comme une description ou une théorie, mais comme un objet auquel la description ou la théorie se réfère. C'est une variété de la « représentation de la présence » de Dennett. Notre conscience contient l'appréhension que nous sommes en présence d'objets dans leur détail infini, même si ce détail n'arrive jamais dans notre esprit.
C'est-à-dire que la présence ressentie de quelque chose équivaut à ce que notre esprit en contienne une description ou une théorie. C'est comme si le quelque chose était entièrement là pour nous, bien qu'il ne le soit jamais. Nous sentons que toutes ces lignes et leurs orientations nous sont présentes dans l'image 2, bien que ces orientations ne se trouvent nulle part dans notre esprit. Nous sentons aussi que l'espace et dans sa divisibilité illimitée nous est présent, bien que ce que nous possédons dans notre esprit n'est qu'une théorie de l'espace, et non la structure elle-même dans sa nature infinie.
Permettez-moi de terminer cette note par un constat d'évidence : la structure des phénomènes a été étudiée, sous diverses rubriques, depuis plus de cent ans, par les phénoménologues eux-mêmes (comme Husserl), les psychologues de la Gestalt, les scientifiques cognitifs, les neuroscientifiques et informaticiens. Dans de nombreux cas, les structures qui ont été éclairées par ces études sont de nature mathématique.
Chris Goad
