Before Big Bang

 

What Existed Before The Big Bang?

Georges Lemaitre lecturing at a University. Source: unknown

In 1927, Georges Lemaître, a Belgian priest, mathematician, astronomer and professor of theoretical physics published a report in the Annales de la Société Scientifique de Bruxelles (Annals of the Scientific Society of Brussels) under the title “Un Univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extragalactiques” (“A homogeneous Universe of constant mass and growing radius accounting for the radial velocity of extragalactic nebulae”), a paper that was going to make him internationally recognized in the scientific as well as the religious community.

The paper provided significant insights into the ‘expansion of the universe’ which Lemaitre derived from the solutions of Einstein’s general relativity. The publication in which the report was published wasn’t much recognizable at the time. However, in 1931, physicist Arthur Stanley Eddington translated Lemaitre’s paper in English. He did not include Lemaitre’s estimation of the ‘Hubble’s constant’ though for reasons that were unknown for quite a long time. Lemaitre observationally estimated the value of the Hubble’s constant at the time but for some reason it was not published in the translation. Edwin Hubble provided the accurate constant value two years later after Lemaitre’s publication.

Physicist and popular science author Mario Livio reported in the year 2011:

Lemaître omitted those paragraphs himself when translating the paper for the Royal Astronomical Society, in favour of reports of newer work on the subject, since by that time Hubble’s calculations had already improved on Lemaître’s earlier ones.

When Lemaitre presented his ideas to Einstein, he did not quite accept it and said “Vos calculs sont corrects, mais votre physique est abominable” meaning:

Your calculations are correct, but your physics is atrocious

Lemaître was then invited to London to participate in a meeting of the British Association on the relation between the physical universe and spirituality where he proposed that the universe expanded from an initial point, which he called the “Primeval Atom”. He developed this idea in a report published in Nature. Lemaître’s theory appeared for the first time in an article for the general reader on science and technology subjects in the December 1932 issue of Popular Science. Lemaître’s theory became better known as the “Big Bang theory,” a picturesque term playfully coined during a 1949 BBC radio broadcast by the astronomer Fred Hoyle.

Albert Einstein and Georges Lemaitre

What is the Big Bang Theory?

The Big Bang hypothesis states that all of the current and past matter in the Universe came into existence at the same time, roughly 13.8 billion years ago. At this time, all matter was compacted into a very small ball with infinite density and intense heat called a Singularity. Suddenly, the Singularity began expanding, and the universe as we know it began. The first atoms are thought to have formed when the universe was around 400,000 years old. Before that, the universe was simply too hot and too energetic to let atomic nuclei capture electrons. The first stars sparkled into life, cosmologists believe, about 250 million years after the Big Bang, and the first galaxies shortly after that.

Crucially, the theory is compatible with Hubble–Lemaître law — the observation that the farther away a galaxy is, the faster it is moving away from Earth. Extrapolating this cosmic expansion backwards in time using the known laws of physics, the theory describes an increasingly concentrated cosmos preceded by a singularity in which space and time lose meaning.

Image: Getty Images

The religious/mythological view

According to Boshongo people of central Africa, in the beginning there was only darkness and water. Along with those two elements existed a god named Bumba. Bumba, one day, vomited out of stomachache and spitted the sun. The sun dried up some water leaving land. He vomited some more spitting moon, stars and so on. According to the old testament, god created Adam and Eve only six days into creation. The Qur’an says that “the heavens and the earth were joined together as one unit, before We clove them asunder” . Following this big explosion, Allah “turned to the sky, and it had been (as) smoke. He said to it and to the earth: ‘Come together, willingly or unwillingly.’ They said: ‘We come (together) in willing obedience’. Thus the elements and what was to become the planets and stars began to cool, come together, and form into shape, following the natural laws that Allah established in the universe. The Qur’an further states that Allah created the sun, the moon, and the planets, each with their own individual courses or orbits. “It is He Who created the night and the day, and the sun and the moon; all (the celestial bodies) swim along, each in its rounded course” For Hindus the universe was created by Brahma, the creator who made the universe out of himself. After Brahma created the world, it is the power of Vishnu which preserves the world and human beings.

God rests with his creation. Julius Schnorr von Carolsfeld 1860

What existed before the big bang?

Before we proceed to answer this question, it’s important to understand the fact that big bang theory is, so far, the most widely accepted theory of beginning which is consistent with the working mathematics. Big bang ‘explosion’ is considered to be the beginning of space and time itself. Thus, there is nothing before the initial moment of the universe’s rapid expansion. Theoretically speaking, the Big Bang took place at no place and at no time. Thus, there is nothing before the initial moment of the universe’s rapid expansion. The question is similar to the question of “What happens if you move two objects closer together than zero distance.”

There’s a very interesting analogy that might help us understand the ‘prior-to-big-bang’ universe. Pick the smallest real number that is bigger than 0. Somehow one can always pick one that is smaller than yours. If you pick 0.0001, one can pick 0.00005. In fact, one can always just take the half of your number, and that will be a smaller one. Hence asking what is the smallest number greater than zero does not make any sense. There is no smallest number that is bigger than 0. Big Bang is something similar. There was no first moment. Time itself came to existence with it, and we cannot point to the earliest moment. As in the example above — we can always have a moment earlier than a particular other. We call that first missing moment a singularity.

Here’s a thought: What if our universe is but the offspring of another, older universe? Some astrophysicists speculate that this story is written in the relic radiation left over from the Big Bang: the cosmic microwave background (CMB).

The Conformal Concyclic Cosmology Hypothesis

Unexpected hot spots in the cosmic microwave background (CMB) could have been produced by black holes evaporating before the Big Bang. So says a trio of scientists led by mathematical physicist Roger Penrose in a paper presenting new evidence that our universe is just one stage in a potentially infinite cycle of cosmic extinction and rebirth.

CMBR mapped by COBE and WMAP

Penrose, based at the University of Oxford , has developed a rival theory known as “conformal concyclic cosmology“ (CCC) which posits that the universe became uniform before, rather than after, the Big Bang. The idea is that the universe cycles from one aeon to the next, each time starting out infinitely small and ultra-smooth before expanding and generating clumps of matter. That matter eventually gets sucked up by supermassive black holes, which over the very long term disappear by continuously emitting Hawking radiation. This process restores uniformity and sets the stage for the next Big Bang.

CCC hypothesis (left) and Nobel prize winning physicist Roger Penrose (right). Credits: National portrait library

The theory is a fascinating and imaginative alternative to inflation, but the data doesn’t support it. If Penrose’s CCC hypothesis is correct, we should also be able to see some left-over information from the previous aeon in the cosmic microwave background around us. The data, however, speaks a different story. Let’s leave this topic for the upcoming article.

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Utopie et désenchantement

 

Utopie et désenchantement chez Claudio Magris

« La Tour de Babel », Pieter Bruegel (vers 1563, huile sur panneau de bois de chêne

Dans Utopia e disincanto, 1999, Claudio Magris s’oppose au chaos catastrophiste, soutenu par la collapsologie radicale. Le Dialogue du passant et du marchand d’almanachs, de Giacomo Leopardi, lui sert de paradigme.

Pour Leopardi, personne ne souhaite revivre son passé exactement comme il a eu lieu. Non seulement nous ne souhaitons pas revivre la vie passée à l’identique, mais même lorsque l’année recommence, nous souhaitons qu’elle soit différente de celle qui vient de s’écouler. Cela  signifie que le destin, jusqu’au jour où nous sommes, nous a mal traités, selon l’opinion générale. Le mal dans le passé l’emporte sur le bien. Ainsi, personne ne consentirait à renaître pour refaire le même chemin. De plus, une vie identique, vécue deux fois, n’offrirait plus de curiosité.

« Utopia e disincanto. Saggi 1974-1998 », Claudio Magris (Gazzardi, 2016)

Nous sommes ici aux antipodes de l’idéal nietzschéen, celui du surhomme,  qui est prêt à revivre ce qu’il a vécu, dans le détail et à l’infini, dans le caractère affirmatif de la vie. « Agis toujours de telle sorte, que tu acceptes l’éternel retour de tes actes » : il s’agit ici d’une acceptation inconditionnelle de la vie.

Mais en attendant, loin de l’idéal du surhomme de Nietzsche, il faut vivre et dès que l’on a choisi de vivre, il faut faire son possible pour s’en accommoder. Loin de se complaire dans la souffrance, la désespérance, nous pouvons trouver des raisons à cette complaisance, mais continuons à vivre pour autant. Ainsi, le pessimisme radical tout comme l’optimisme béat ne sont pas recevables, Héraclite  (philosophe du devenir) et Démocrite (philosophe de l’être) doivent être surmontés. Si ce dialogue de Léopardi  nous met en garde contre l’attente d’une année meilleure, il reste porteur d’un amour, certes timide, pour la vie, associé à une discrète attente du bonheur.

Au tournant du siècle et du millénaire, une inflation démesurée de commémorations et d’anniversaires  a eu lieu. Peut-on encore raisonnablement célébrer l’arc de Triomphe du Temps, la mise en scène du progrès ou au contraire sa caducité ? La crainte apocalyptique de la fin du monde, au seuil de l’An 2000, s’est vue entretenue par les discours annonçant l’effondrement inéluctable.

La transformation inexorable de l’humanité ne va-t-elle pas permettre l’apparition d’un homme nouveau, associé à son auto-dépassement ? En attendant, le nihilisme domine. Claudio Magris établit alors un parallèle entre le nihilisme nietzschéen et celui de Dostoïevski. « L’homme du souterrain » n’est pas sans évoquer « le dernier homme » de Nietzsche (Der letzte Mensch).

Dans les Carnets du sous-sol, Dostoïevski expose le journal d’un narrateur amer, isolé. Il est rempli de haine, de ressentiment, malade et ne se soigne pas par méchanceté envers lui-même. Il se complaît dans sa déchéance et éprouve même une certaine volupté dans la souffrance. Nous pouvons y voir une expression de la philosophie de Schopenhauer au sens de Nietzsche, une volonté de négation de la vie, ou une volonté de néantisation de sa propre existence. Le nihilisme se décline ici comme dévaluation de toutes les valeurs, perte irrémédiable du sens, poussée jusqu’à l’absurde ressentiment  dans la culpabilité de l’ascète, selon la Généalogie de la morale. Nietzsche fit d’ailleurs la connaissance de Dostoïevski par les Carnets du sous-sol en février 1887 à Nice. Il confie alors à Franz Overbeck que « l’affinité instinctive a parlé tout de suite ; ma joie a été extraordinaire ». Dostoïevski, explorateur du nihilisme, en opposition à Pascal, souligne que le moi contient en lui-même la mort et le désir de sa propre destruction, mais il ne se résout pas pour autant, à l’instar de Nietzsche, au caractère inexorable du nihilisme. Alors que Nietzche en appelle à une nouvelle «  Aurore », l’adhésion à de nouvelles valeurs, qui ne sont plus des valeurs de mort mais des valeurs de vie, Dostoïevski évoque ouvertement sa foi, sa conversion totale au Christianisme, veut favoriser le retour à la pensée mystique du Dieu-homme.

Certes, Dostoïevski est d’autant plus clairvoyant qu’il voit le mal partout, cet irréductible qui dissout l’idéalisme optimiste. Mais Claudio Magris ne peut se résoudre à réduire l’histoire, et le XXème siècle en particulier, à une suite d’hécatombes et d’exterminations. Le XXème siècle a apporté ses indéniables progrès, d’une part matériels et d’autre part l’extension des droits à des catégories jusqu’à lors ignorées ou mises à l’écart. Autant on ne peut plus croire au progrès aveuglément, à l’instar des positivistes du XIXème siècle, autant on ne peut se résigner à l’idéalisation d’un passé révolu ou au catastrophisme ambiant.

Claudio Magris (2009)

Si les brumes du futur renforcent notre regard myope, celui-ci doit toutefois être corrigé par humilité et ironie. Nous mettant en garde contre une prétendue fin  de l’histoire, soit-disant opérée en 1989 avec la chute du mur de Berlin, les événements constituent un enchevêtrement inachevé ou intrication de régressions et d’émancipations, comme les deux côtés d’une médaille. Au niveau européen, la contradiction opère aussi entre des forces centripètes et centrifuges, l’unification s’accompagne de revendications particularistes, régionalistes. Si le nouveau millénaire a suivi la défaite de nombreux totalitarismes, la survenue d’un totalitarisme « soft et gélatineux  » est toujours possible. Claudio Magris s’inscrit ici dans la lignée de Tocqueville. Au totalitarisme fondé sur des idéologies fortes, risque de succéder un totalitarisme mou, promu par le pouvoir des moyens de communication.

Chez Tocqueville, la démocratie, conduisant à un nivellement des conditions, peut générer la médiocrité de l’homme, replié sur sa vie privée et finalement soumis à un Etat-providence par rapport auquel il a perdu toute autonomie. La médiocrité se traduit ici par une recherche de petits plaisirs dont chacun remplit son âme. Ici, l’Etat tutélaire aime que les citoyens se réjouissent pourvu qu’ils ne pensent qu’à se réjouir. Tocqueville propose par conséquent le développement d’un quatrième pouvoir, celui de la presse.

Afin de résister à ce totalitarisme, Claudio Magris souligne l’importance de défendre la mémoire historique et refuse le faux réalisme qui absolutise le présent et ne le croit plus susceptible de mutation ; ceux qui estiment possible de changer le monde étant alors stigmatisés et traités d’utopistes naïfs. Si la chute du communisme a entraîné la fin du mythe de la Révolution et du Grand Soir, les idéaux de justice perdurent, bien que libérés de l’idolâtrie. Autrement dit, les utopies révolutionnaires sont un levain, insuffisant à lui-seul pour faire le pain, mais utile. Claudio Magris s’inscrit ici en faux contre l’adage selon lequel l’enfer serait pavé de bonnes intentions. Si le monde ne peut être sauvé dans l’absolu, l’humanité doit accéder à la maturité ; en couplant à la fois la nécessité de l’utopie et du désenchantement. L’utopie implique de ne pas se résigner et se soumettre aux choses telles qu’elles sont. Chaque génération, tel Sisyphe, doit pousser son rocher pour éviter qu’il ne lui tombe dessus. L’utopie, c’est aussi ne pas oublier les victimes anonymes, absentes de l’Histoire Universelle. Ecrire, c’est en ce sens marcher le long du fleuve (Danube), remonter son cours, en extraire les existences naufragées, retrouver les épaves et les embarquer sur une arche de Noé en papier.

La volonté de redonner vie aux oubliés se retrouve aussi dans la philosophie de l’histoire de Walter Benjamin et de Simone Weil. Dans L’enracinement, la philosophe souligne que les vaincus échappent à l’attention de l’histoire. Ils disparaissent, sont néant, dans un processus darwinien le plus impitoyable qui soit. Dans le même sens, Walter Benjamin affirme dans sa 7ème thèse de sa philosophie de l’histoire que  « tous ceux qui ont remporté la victoire participent à un cortège triomphal où les maîtres … marchent sur les corps des vaincus d’aujourd’hui ».

Cependant, l’utopie est dangereuse lorsqu’elle est déconnectée du réel. Don Quichotte a besoin de Sancho Pança. Utopie et désenchantement doivent se corriger mutuellement. Le salut qui n’a pas été assuré par les utopies doit encore être cherché, mais avec plus de patience et de modestie. Les idéaux de solidarité et de justice ne peuvent pas être annihilés par le désenchantement. Le désenchantement, c’est la conscience qu’il n’y aura pas de parousie (seconde venue du Christ sur la Terre, dans sa gloire) ou de venue du Paraclet, expression de l’Esprit Saint, comme défenseur, intercesseur et consolateur, or l’esprit consolateur se fait toujours attendre, mais ce désenchantement du monde, si bien décrit par Max Weber (Entzauberung der Welt) ne peut coïncider avec la fin de l’histoire. En effet, si le désenchantement corrige l’utopie, il n’en renforce pas moins son élément fondamental : l’espérance. A la fin du XVIème siècle, le mouvement baroque, accompagnant la crise de l’empire espagnol, les guerres, la paupérisation et les conflits religieux, se distingue par son pessimisme, en opposition à la pensée de la Renaissance. L’homme est  alors plongé dans le disengaño, perte d’illusions, suivie d’une prise de conscience de la vanité humaine. Il s’agit ici de prendre ses distances avec un monde trompeur, exprimé dans le roman picaresque (le picaro), gueux à l’origine, s’opposant au héros chevaleresque. Claudio Magris ne peut se résoudre à cette désillusion radicale, mais revendique au contraire l’esprit messianique, enfoui au fond des ténèbres. L’esprit messianique, synonyme d’espérance, perdure par- delà les malédictions qui se sont répandues, générant le désenchantement, à l’image du mythe de Pandore.

L’espérance, vertu théologale, se distingue de l’espoir, vertu immanente, terrestre. L’espérance a l’avantage de nous dire non seulement comment les choses sont, mais aussi comment elles devraient être. Si l’histoire est le lieu du désenchantement prosaïque, la fonction de la poésie semble être  celle du «  réenchantement » ou de l’utopie. L’ironie de Cervantès, démasquant la chevalerie, a produit l’enchantement de la poésie de la chevalerie. Claudio Magris est ici l’héritier d’Aristote pour lequel la poésie vaut plus que l’histoire. Alors que l’histoire nous décrit la réalité plutôt telle qu’elle est, la poésie, source de rêve et d’utopie, nous décrirait la réalité telle qu’elle pourrait être. Bref, elle élargit le champ des possibles, en ce sens, la poésie est plus philosophique que l’histoire.

Portrait de Dostoievski, Vassili Perov (huile sur toile, 1872)

Cet esprit de l’utopie, revendiqué par Ernst Bloch, insiste sur les potentialités enfouies derrière le réel, potentialités demandant à être libérées. Ecrit d’avril 1915 à mai 1917, l’esprit de l’utopie est porté par le mouvement de la révolte et de l’espérance. La musique lui paraît être alors la voie principale de cette révolte. A nous de déchiffrer des signes tangibles, des traces d’utopies concrètes, en renouant avec la tradition millénariste. Cet esprit de l’utopie hante encore l’histoire contemporaine comme spectre, associé selon Ernst Bloch au principe espérance (Prinzip Hoffnung).

Finalement, pour Claudio Magris, « le désenchantement est une forme ironique, mélancolique et aguerrie de l’existence ».

Dans l’esprit de l’utopie contemporaine, Aymeric Caron tente de redonner vitalité à l’Utopie de Thomas More dans Utopia XXI, 2017, alors que Michel Maffesoli en appelait à un  réenchantement du  monde en 2007. Aymeric Caron oppose l’utopie au néolibéralisme dominant, identifié de nouveau à un totalitarisme soft, notre système actuel provoquant l’anesthésie des citoyens, leur servitude, en échange de plaisirs et de tranquillité minimale.

Force est de constater cependant que le principe de responsabilité, au sens de Hans Jonas, semble l’emporter sur le principe espérance, dans un monde confronté à de multiples défis, à l’urgence climatique, démographique, ou sanitaire. Cette urgence s’exprime comme impératif suivant : « Agis de telle sorte que les effets de ton action soient compatibles avec la permanence d’une vie authentiquement humaine sur terre ».

La mort de l’idéologie du progrès ne fait-elle pas de nous des orphelins des Lumières, vides et angoissés ?

Telle est la question posée par un article de Sylvain Besson dans le journal suisse Le Temps publié le 27 décembre 2018. Les deux périls essentiels qui  guettent sont les conséquences du réchauffement climatique, pointé par Pablo Servigne et l’intelligence artificielle. Pour Pablo Servigne, nous sommes entrés dans l’âge des menaces, l’effondrement pouvant se produire autour de 2030. Le réchauffement climatique accéléré, la prolifération du plastique dans les océans, la disparition de certaines espèces dont les insectes pollinisateurs, et la récente actualité (les feux en Méditerranée) corroborent l’hypothèse d’une apocalypse imminente. En cas de réchauffement global de 4 degrés, certaines régions du globe pourraient devenir inhabitables, y compris en France. Ces arguments plaident en faveur de la collapsologie. La menace de l’intelligence artificelle, quant à elle , semble plus théorique. Les robots consacreraient l’obsolescence de l’homme. L’idéologie transhumaniste joue sur le même registre.

Etienne Klein, dans Sauvons le progrès, et Yuval Noah Harari, dans Homo Deus et dans 21 leçons pour le 21ème siècle, dénoncent l’absence de vision pour 2050. Etienne Klein insiste sur les difficultés de compréhension des implications du Big Data, de l’intelligence artificielle ou de l’ubérisation. Des scientifiques renoncent même à l’idée de progrès et le futur envisagé n’est plus attractif. Les dystopies écologiques ou technologiques s’ajoutent au désenchantement radical envers le libéralisme.

Avec l’obscurcissement de l’idée de progrès, nous aurions perdu notre boussole. L’hypothèse de l’effondrement radical est toutefois paralysante et alors il n’y aurait plus de raisons d’agir. Or, la politique est l’anti-destin, ce qui implique de ne pas céder à la fatalité mais au contraire d’ouvrir l’horizon des possibles, de l’action et du mouvement ; tel est aussi l’esprit de l’utopie qui ne peut pas se contenter du désenchantement radical. Sans pour autant nier l’ampleur du changement que l’homme inflige à la terre – l’anthropocène – , il nous faut réinventer notre rapport à la nature sans retourner à l’état de nature, mais plutôt en changeant la voie du progrès qui ne peut plus être considérée comme linéaire ou illimitée. Sans régresser, nous pourrions peut-être rétrogresser ou encore changer la voie du progrès, à travers des expérimentations alternatives s’inscrivant dans la durabilité ou soutenabilité. Ainsi, le futur doit demeurer un objet de pensée collective au-delà du catastrophisme.

© Philippe Fleury

Publié le 29 novembre 2021 par FLY6901

Pervert's guide to Cinema

 

Théorie des groupes

 

Théorie des groupes pour débutants : une approche intuitive

Qu'est-ce qu'une symétrie exactement ?

Un dodécaèdre sur un carrelage de Penrose. Images reproduites avec l'aimable autorisation de Wikimedia Commons.

Lorsque nous parlons des mathématiques en termes de beauté, de symétrie et de puissance, nous laissons souvent de côté exactement ce que sont ces choses. Vous êtes-vous déjà demandé ce qu'est exactement une symétrie ?

(traduction automatique)

Dans cet article, je décrirai l'étude mathématique connue sous le nom de théorie des groupes, qui est à la base des domaines connus sous le nom d'algèbre abstraite et d'algèbre moderne. Ne vous laissez pas décourager par la formulation, ce n'est finalement pas si difficile.

Cet article est écrit pour toute personne ayant même une connaissance de base de la géométrie et de l'algèbre depuis le lycée. Ce n'est pas grave si vous avez tout oublié : nous recommencerons depuis le début ! Nous allons construire le sujet à partir de zéro; Donc, tout ce que vous devez savoir, ce sont des faits de base sur les ensembles et les nombres. Mon principal conseil pour commencer est de ne pas trop penser aux choses ; rien n'est plus que ce que dit la définition. Ce sont des mathématiques vraiment simples.

Feuille de route de l'article :

• Symétries du triangle intuitivement
• Définition du groupe
• Quelques faits sur les groupes, et quelques exemples de groupes
• Définition d'une géométrie et d'une symétrie (!!)

Symétries du Triangle

Nous commencerons par les symétries du triangle, comme moyen approximatif de comprendre la terminologie à venir. Tout ce que nous allons faire est d' affiner nos significations à partir de la géométrie de base.

Définition 1 - Triangle : Un triangle est constitué de trois points uniques dans un plan ou de la zone délimitée par trois lignes uniques dans le plan.

Définition 2 - Triangle équilatéral : On dit qu'un triangle est équilatéral si ses trois côtés ont la même longueur.

De la géométrie de base, nous pouvons dire que tous les angles internes sont également les mêmes. Euclide construit le triangle équilatéral de la manière suivante :

Étant donné que les deux cercles partagent un rayon et que les trois points se trouvent sur les deux cercles, la distance entre les deux doit être la même. Nous savons donc que ceux-ci doivent exister sous une géométrie assez normale. Plus sur ce que cela signifie plus tard (retenez cette pensée!) .

Maintenant, les symétries de ce triangle sont à peu près « que pouvons-nous changer dans le triangle, jusqu'à l'endroit où nous récupérons une copie, et nous ne pouvons pas faire la différence entre cette copie et l'original ? »

Prenons le triangle ABC, donné ici. Nous pouvons soit le refléter avec l'une de ses lignes bissectrices, soit le faire pivoter d'un tiers d'une rotation complète. Écrivons-les comme r pour la rotation et f pour la réflexion ; nous les écrirons par ce qu'ils font aux sommets :

Donc, dans cet esprit, nous voyons qu'il y a exactement 6 résultats que nous pouvons obtenir par ces opérations, car nous pouvons les combiner. Par exemple:

Si nous continuons ainsi, nous pouvons nous convaincre que les symétries du triangle correspondent au réarrangement des lettres ; nous pouvons également nous convaincre que les rotations et les réflexions sont suffisantes pour nous donner tous ces résultats. (Si vous voulez l'essayer, découpez un triangle dans un morceau de papier et essayez chaque combinaison de 2 ou 3 réflexions ou rotations. Faites-en un tableau pour voir où va chaque coin. [voir ci-dessous])

Ainsi, nous finissons par découvrir que le triangle {a,b,c} a un ensemble de rotations et de réflexions qui le laissent inchangé ; ceux-ci sont tous « construits à partir » d'une seule rotation et d'une seule réflexion.

Ici, e est l'« identité », qui signifie « ne rien faire ». r est une rotation simple et s est une réflexion. Tableau tiré de « Groupes et symétrie » par MA Armstrong.

Nous appelons ces symétries, ce qui n'est pas encore tout à fait une bonne explication. Nous écrirons cet engin, le triangle avec ces symétries, comme (T, G) , où

T = {a,b,c} et G = (r, f, r², rf, r²f). Vous pouvez considérer cela comme décrivant les propriétés d'un triangle équilatéral : c'est un ensemble de trois points, où certaines rotations et réflexions (celles de G ) le laissent inchangé. Nous appellerons ces symétries pour l'instant, mais affinons notre définition une fois de plus dans un court instant.

Groupes : quoi et pourquoi ?

Définition 3 - Groupe : Un groupe est un ensemble X, combiné à une sorte de multiplication (notée ab en multipliant a avec b ) telle que

• X est fermé : aucun élément de X ne peut être envoyé en dehors de X par multiplication.
• X a un élément identité : il existe un élément e tel que pour tout x dans X, ex = xe = x .
• La multiplication est associative : a(bc) = (ab)c = abc pour tout a,b,c dans X ; et
• La multiplication a un inverse : pour tout x dans X , il existe un élément y tel que xy = yx = e , et nous notons que ce y est x^(-1).

Un groupe est tout ensemble d'éléments pour lesquels cela est vrai. Maintenant, si vous revenez à notre exemple de triangle, j'ai écrit de manière suggestive que le triangle a été donné par (T, G). Le G, tel que nous le décrivons ci-dessus, est un groupe. Si l'on combine les différentes rotations et réflexions, on récupère une rotation ou une réflexion ; il a aussi une identité, et comme notre tableau l'a montré, chacune de ces rotations ou réflexions a un inverse (il y a, dans chaque ligne du tableau, au moins un e , donc il y a au moins un inverse pour chaque élément). Enfin, il est associatif, comme on peut le vérifier par le même raisonnement.

Dans l'exemple du triangle, nous devons noter que le triangle lui-même n'est pas le groupe, ni les sommets ; plutôt, l'ensemble {a,b,c} est influencé par le groupe de rotations et de réflexions. Ce groupe est connu sous le nom de D3, le groupe dièdre agissant sur 3 objets.

Avant de continuer, respirez profondément et n'y réfléchissez pas trop. Tout ce que nous avons fait, c'est nommer des choses que nous comprenons déjà, ou avec lesquelles nous pouvons au moins jouer à un niveau intuitif. Le « grand saut » est que nous avons séparé ces symétries de la chose sur laquelle elles vivent, et en fait, cela est très précieux, comme nous le verrons.

Exemples et faits

Arithmétique Mod 3

Prenons deux autres exemples simples de groupes. La première est l'arithmétique d'horloge sur une horloge à trois heures :

Une horloge avec 3 heures.

Sur notre horloge à 3 heures, nous allons définir quelques calculs de base. Prenez 2+1 . Une heure après 2 vaut 0, donc 2+1 = 0 .

De même, 2+2 = 1 et 2 x 2 = 1 . Tout le reste agit « comme d'habitude ».

C'est ce qu'on appelle l'arithmétique modulo 3. Nous allons nous concentrer sur les propriétés d'addition pour l'instant ; sous cet ajout, nous appelons l'ensemble {0,1,2} par le surnom Z3, et sur celui-ci nous agissons avec l'opération +. Il s'agit d'un groupe extrêmement basique, agissant sur cet ensemble extrêmement simple. Un bon exercice pour le lecteur intéressé serait de vérifier que ce cas (Z3, +) est un groupe.

Cela se trouve également être équivalent au groupe formé uniquement par les rotations sur le triangle.

Les nombres rationnels

Prenez n'importe quelle fraction p/q , où p,q ne sont pas 0 . Avec l'opération de multiplication, c'est un groupe. C'est aussi un bon exemple à vérifier ! Ils sont également séparément un groupe sous addition, où 0 est maintenant autorisé pour p (mais pas q ! Indice : les identités sont 1 pour la multiplication et 0 pour l'addition.)

Les rotations du cercle unité par un angle de k

Comme vous l'avez peut-être remarqué ci-dessus, les rotations ont tendance à produire des groupes assez facilement dans le plan (nous en parlerons plus tard). Maintenant, notez que l'ensemble de toutes les rotations, agissant soit sur le plan, soit sur n'importe quel cercle centré à l'origine, sont les deux groupes. (Vérifie ça!)

Propriétés des groupes

Maintenant que nous avons quelques exemples, notons les quelques termes et idées suivants :

• Abélien : si l'opération commute, c'est-à-dire si xy = yx pour tous les éléments de X, alors on dit que le groupe est abélien.
• Sous-groupes : si un sous-ensemble du groupe est toujours un groupe avec la même opération, on dit que c'est un sous - groupe . Un bon exemple est les entiers avec addition, et tout ensemble de multiples de nombres premiers ; comme {…-10,-5,0,5,10,15…} écrit ici comme 5Z (pas le même que Z5 !)
• Ordre de groupe : On dit que le nombre d'éléments dans un groupe est son ordre .
• → Théorème de Lagrange : Si H est un groupe d'ordre fini, et G est un sous-groupe de H , alors l'ordre de G divise l'ordre de H. (On peut refaire un tas de jolis théorèmes sur la théorie des nombres ici !)
• Ordre des éléments/Ordre d'un élément : L'ordre d'un élément g est le plus petit nombre k tel que g^k = e l'identité.
• → Théorème de Cauchy : Si H est un groupe d'ordre fini n , et p est un nombre premier qui divise n, alors H possède au moins un élément d'ordre p .

Ceux-ci nous donnent quelques façons de penser aux groupes comme étant les sortes de structures qui sous-tendent la théorie des nombres et la géométrie. Cela nous amène à la définition finale, qui devrait éclaircir conceptuellement une grande partie de notre langage.

La géométrie du prisme des groupes

Définition 4 - Géométrie : Une géométrie est un couple (S,G) , où S est un ensemble et G est un groupe de transformations.

Cela nous amène à la définition suivante :

Définition 5 - Transformation : une transformation est une fonction T d'un ensemble A vers lui-même, généralement notée T : A → A, telle que tout dans A va vers quelque chose d'unique dans A (un vers un/injectif) , et la sortie de T couvre tout A (sur/surjectif). Une fonction qui est un-à-un et sur est appelée une bijection , et une bijection d'un ensemble à lui-même (qui préserve la structure/action du groupe) est un automorphisme .

Ainsi, une géométrie est un ensemble avec un groupe de fonctions sur lui-même, ou un ensemble avec son groupe d'automorphismes. Celles-ci sont également appelées symétries .

De retour à notre triangle, nous avons un langage que nous avons défini pour mieux comprendre :

Maintenant, étendons nos nouvelles compétences linguistiques !

Ici, toute la géométrie est (S,G) . Le triangle est l'ensemble S = {a,b,c} , avec le groupe d'automorphismes constitué de combinaisons de r et f (on dit qu'il est généré par eux). Nous écrivons ce groupe soit comme G soit comme <r,f>. Ces éléments sont respectivement d'ordre 3 et 2 car r³ envoie a → b → c → a (pour tous les éléments c'est vrai), et f² envoie a → c→ a. (encore une fois, il est vrai que chaque élément est conservé, bien que b soit inchangé). Les combinaisons de r etf sont les symétries du triangle.

Maintenant, last but not least, la grande définition :

Définition 6 - Géométrie Euclidienne : La Géométrie Euclidienne est l'ensemble C des nombres complexes, combiné avec le groupe H des transformations de la forme T(z) = r(z) + b, où z est un nombre complexe et b est un complexe constant.

C'est-à-dire que c'est l'ensemble de toutes les rotations et translations du plan. Voyez si vous pouvez voir pourquoi cela a du sens par vous-même, et j'inclurai quelques liens dans les ressources vers des textes qui explorent mieux cette connexion. Cette exploration est un outil puissant.

Le voilà! Faites-moi savoir dans les commentaires si vous souhaitez que je discute d'autres sujets mathématiques.

Ressources/Autres lectures :

Géométrie et topologie cosmique par Michael Hitchman : https://mphitchman.com/geometry/gct-toc.html

Groupes et symétrie par MA Armstrong : http://chiataimakro.vicp.cc:8880/Mathematics/%E6%95%99%E6%9D%90/UTM-Undergraduate%20Texts%20in%20Mathematics/UTM%20Armstrong%20% 20groupes%20et%20symétrie.pdf 

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ÉCRIT PAR

Aidan Lytle