When I was studying mathematics at college, I also took some design and photography courses because I love the connection between math, design and the universe. I made a list of my favorite books. I hope you also like them.
It is really a pleasure to see Euclid’s logical-visual way of thinking and you see how he methodically advances. All of Euclid’s proofs and constructions demonstrated with colorful illustrations by Oliver Byrne. This gorgeous book is my favorite book for a long time.
This book will be enjoyed by those studying mathematics, designers, and architecture. This book will enchant your eyes and your mind after you start reading because it unveils the divine force in nature. The author of the book turned science into an art and historical voyage.
This beautiful book is a collection of the actual photographs taken by Wilson Bentley, who took more than five thousand photos of snow crystals over the course of his life. The photographs, now almost a century old, are still remarkable. You will find the life of Wilson Bentley very interesting. Like Bentley’s favorite subject matter, snowflakes, the book itself will quickly melt away.
Wilson Bentley, Snowflake Bentley, was an absolute genius in his fractals work! He took wonderful photos of over 800 exquisite snowflakes in 1922. His collection of myriads of snowflakes is utterly amazing. You can also use this as an art assignment.
This book is essential for fractals and chaos. I simply love this book because it is quite out of ordinary. It is certainly a classic. If you are looking for good examples of fractals, you will find plenty of inspiration in this book. Benoit Mandelbrot did a perfect job of writing for mathematicians and designers. He explained the complexity of nature perfectly.
This is one of my professors’ favorite book! First, this is not a textbook or popular science book, so it is very re-readable. You can get something new out of it every time. Schroeder explains number theory very smooth and making it accessible to people who aren’t math majors.
This is a huge book, it is more than 10 pounds. There are almost 6000 logos in the book. It is a must book for people who are interested in geometry, design, or patterns.
Ian Stewart is great at telling entertaining stories and getting people interested in mathematics. It is about the historical development of symmetry in mathematics and its applications. This book really will help you view mathematics in a new light.
To complete this book may take a long time, but at the end of the book, you will like it. He shows us the beautiful designs of our nature and the structure of some objects. Ian Steward combines math, geometry, science, and design altogether and influences us.
It is a great concept book and it will blow your mind because it requires logic and vision of a designer. When you try to solve, you will see that there are no wrong answers. However, you have to figure out why.
It is a pretty good book. This book contains proofs of some theorems and shows wonderfully illustrated images to demonstrate the theorems. Eli Maor makes a connection between the visual beauty of geometry and intellectual complexity.
It is a beginner book for patterns. To understand Islamic geometry, you need mathematics, geometric shapes, and patterns. It is a nice step by step guide on drawing Islamic patterns. The author gives clear instructions on how to create both simple and complex designs using pencil, rule, and compasses.
This book is a must for anyone who loves drawing. It should be also in every art and geometry class. It is an easy read and good for building geometric constructions with very basic tools. Even the designs are too complex, the presentation is so simple.
It is a great short book about geometry and design with a focus on the golden ratio and root rectangles. It is a brilliant collection of design examples. You will love the correlation between nature and geometric design. Anyway, this is another essential volume for a graphic designer’s library.
Interesting book, fascinating subject. This book is a very good introduction the fundamental math fractals are build upon and their applications. You can also plot the examples yourself.
If you want to understand chaos theory, this book is for you. Mr. Falconer provides us with a comprehensive approach for chaos in many natural phenomena happening around us. The book is also illustrated with tons of cool stuff.
It is a wonderful eye-opening book about Fibonacci and his numbers. Especially the chapter on Fibonacci numbers in art and architecture is one of the best I’ve seen.
Some people call this book as a mathematical utopia. It is full of fun thought-provoking ideas on the history of knowledge and learning. It is candy for all designers. You may find the answer of why God chose to use this ratio is a mystery that needs to be further explored.
This book is a classic on the creation and use of graphs. The main point of the book is “a good graph can give beautiful ideas in a short time with the least ink.” When you finish the book, you will understand that statistics and data analysis is not just about methods, but they are a means of communication.
It is an adult coloring book. It is designed for bright colors. An arty mathematician will love it. For me, it is much better than coloring flowers or birds.
This is a nice coffee table book. The designs are so minimal which makes this book cool. It could be also a great gift for someone you love. While you are coloring, I assure you that this book while help you grasp the ideas of some geometric stuff.
It is a nice book to read in spare time. There are so many things are in this book to learn such as number theory, proofs and logic, and motion. It is really a refreshing read.
Math Teacher. Mathematics. Soccer player. That’s why it is Maradona not Madonna. I had a mustache like a comrade when I was 2. — alikayaspor@gmail.com —
You might know that to solve an equation of degree 2, ax²+bx+c = 0, we use the quadratic formula.
There
exist similar formulas for equations of degree 3 and 4, but they are
mysteriously missing for 5 or higher. More specifically, it seems like
we cannot construct the solutions to the quintic (equation of degree 5)
or higher using only addition, subtraction, multiplication, division,
and radicals (square roots, cube roots, etc). Why is that, what’s so
special about the number 5? These were questions that haunted the young
Frenchman Evariste Galois
in the early 1800s, and the night before he was fatally wounded in a
duel, he wrote down a theory of a new mathematical object called a
“group” that solves the issue in a surprisingly elegant way.
The
set of roots of different equations are of different complexity. Some
sets are so complex that they cannot be expressed using only simple
objects such as radicals. But how do we measure the complexity of the
roots if we cannot even calculate them, and what measure of complexity
should we use?
Permuting roots and symmetry
The answer lies in the symmetry of the roots.
Symmetry of the roots you may ask, what does that have to do with anything? What does it even mean?
Let’s plot the roots of two equations and see if we can make sense of it:
The
left one is said to be less symmetric than the right one. This might
surprise you, because in the colloquial sense of the word, symmetric is
usually used if one can reflect or rotate the object without changing
the way it looks. In that sense, the left picture looks more symmetric.
For example: The star is more symmetric than the heart, because aside from reflecting it, one can also rotate it.
But
in our case, we are going to take a more general view of symmetries. We
are not restricting ourselves to only reflections and rotations, any
function that transforms the object without changing the way it looks is
fair game. In the case of the roots, that means that any function that
interchanges (permutes) the roots in any way is valid. More functions
means more symmetric.
It turns out that in the right case, there are functions for permuting all the roots in any conceivable order, as many as 5!=120, so it is highly symmetric. But in the left case, if we interchange r₂↔r₄ using the transformation i↔−i we necessarily also interchange r₁↔r₅. This restricts us, and thus all conceivable permutations are not possible. It is less symmetric.
The
functions that permute the roots are called “Automorphisms”, and if we
group those automorphisms together we get what is called a “Group” (I
will get back to better definitions of automorphisms and groups later
on).
This
means that the group that represents the symmetries of the roots is
larger and more complex in the right case. In fact, the group in the
right case is so complex that the roots cannot be described using
radicals.
How do we know how complex a group is? To understand this we need a bit more theory.
The size of the quintic
First, let’s take a look at the size of a group. How do I know that there are some quintics that have a 5! large group?
A general quintic normally looks like this:
x⁵+ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0
But if we take a more “root-centric” approach we can say that it looks like this:
That is, the constant a,b,c,d,e in the first equation is replaced by a symmetric combination of the roots:
r₁+r₂+r₃+r₄+r₅=a r₁r₂+r₁r₃+r₁r₄+r₂r₄+r₃r₄+r₁r₅+r₂r₅+r₃r₅+r₄r₅=b (c and d omitted for brevity) r₁r₂r₃r₄r₅ = e
Looking at all the terms in detail, one discovers that interchanging the roots does not affect the equation (try it for b
above for example). This is true for polynomials of any degree. Since
we are able to interchange all the roots, we can draw the conclusion
that the symmetry group for this general quintic is in fact all
permutations, also called S₅ (the symmetric group of order 5).
Fields and Automorphisms
Now
we are going to expand our definition of automorphisms a bit, as they
are more than just functions that permute roots. In the process we need
to introduce something called “fields”. Why would we want to do that,
you say? The reason is, that while working with roots and their
permutations is fun, it’s a bit easier to work with fields and their
automorphisms. It is exactly the same functions, don’t worry, just
another way to look at them.
So, if the equation is, say x²–2=0, instead of working with the roots, r₁=√2, r₂=−√2 we are going to introduce the field Q(√2). This is all the rational numbers Qwith an added √2. √2 is called a “field extension”. It looks like this: a+b√2 a,b∈Q. To be able to describe the root of the equation we need the field Q(√2).
For every field extension (and also other mathematical objects) we have
bunch of functions, σₙ, that sends a number to another unique number in
the same field and follow the condition σ(a+b)=σ(a)+σ(b) and σ(ab)=σ(a)σ(b). σ is a function of the extension and does not touch the underlying field Q. These function are called automorphisms. Incidentally, they also permutes the roots. This is because for the root r:
r⁵+ar⁴+br³+cr²+dr+e=0⟹ σ(r⁵+ar⁴+br³+cr²+dr+e)=σ(0)⟹ σ(r)⁵+aσ(r)⁴+bσ(r)³+cσ(r)²+dσ(r)+e=0 (since σ does not touch Q (where a, b, c, d,e lives))
This means that σ(r) is also a solution to the equation. And since:
σ(r₁)−σ(r₂)=σ(r₁)+σ(−1)σ(r₂)=σ(r₁−r₂)≠0
the roots are distinct, so we have 5 of them, which must be the original 5. Thus σ must permute the roots.
Of course, this works for an equation of any degree.
Hence:
We have our equation.
That equation has a field that might contain an extension of a few radicals
That field extension has a group, which is a collection of all its automorphisms.
Two Examples of Degree 3
Example 1
Equation: x³−x²−2x+2=0
The roots are (1,√2,–√2) (you can verify this yourself by just plugging them in), so the field must beQ(√2)
Apparently σ₂ is not an automorphism, so we will have to scrap it. The other σ runs into similar problems, the only ones remaining are e and σ₁. This is called the cyclic group C₂ since we can only permute in a circle (a very small circle in this case).
Example 2
Equation: x³−2=0
The roots are
so the field must be
using ζ for brevity. This is what it what it looks like:
One
can play around with the root permutations a bit, and will soon notice
that in this case they are all automorphisms. Thus there are 3! automorphisms, which is all the root permutations, so the group must be S₃.
Another
fun thing to notice about the image above is that it looks like an
equilateral triangle and that the automorphisms exactly corresponds to
rotating and reflecting the triangle. If the automorphisms corresponds
to the symmetries of a regular polygon in this way, the group is called a
“Dihedral group”. In this case D₃. Usually the group of all permutations Sₙ is not the same as the dihedral group Dₙ, but in the case of n=3 it is.
Groups
This
seems to be a good place to segue into a little lengthier discussion
about groups. So, groups started out as collections of permutations of
roots, but can also be seen as collections of automorphisms, or
rotations and reflections of symmetrical geometrical objects. Any
collection of functions that changes an object in such a way that it
looks the same can be considered a group. But, we can actually look at
the transformations themselves without bothering about the symmetric
object that they act upon. Much in the same way that we do not bother
about piles of apples when we do arithmetic, we simply follow the rules,
similarly we can define some rules that the transformations of a group
follow, and use them.
The rules are something like this:
If
we first do a transform, and then another one we will get a third
transform that is still in the group. For example, the group C₄ is the group of all rotations one can do on a square. If a is rotating 90∘, b is rotating 180∘ and c is rotating 270∘ then a∗b=c.
Where ∗ means, first do b then a, commonly called multiplication since
it is (kind of) similar to multiplication of numbers. According to the
rule above, c has to be in the group. This is called closure.
There has to be an identity element (e) that does nothing at all.
For every element there has to be a reverse of that element.
Now, we can investigate the features of different group without having to worry about roots or polygons.
The above is the Caylay table for an equilateral triangle, the D₃ group. It is all the elements of the group and what elements we get when we multiply them. For example, if we first do a 120∘ rotation (r) and then the same rotation again we get a 240∘ rotation rr=r² as can be seen in the table. If we do a 120∘ rotation-flip rf and a r we end up with just a flip. Notice how the elements f and r does not commute. A group were the element commute is called a abelian group.
This
particular table is still very symmetric though, but that doesn’t need
to be the case. Any scrambling around of the elements that follow the
rules is valid.
The above is the D₃
Caylay graph. Here the elements are displayed in a way to show how to
get from one element to the next, where the edges are the operations. In
this case a 120∘ rotation and a flip is necessary, these (r and f)
are also called the generators of the group because one can generate
the whole group with them, starting from the identity element.
Groups
tend to be useful everywhere where there is symmetry. For example, the
wallpaper groups are used to describe symmetric wallpapers. There are
some wallpapers that can be rotated 180∘ and some wallpapers that can be
reflected and some where we can do both, and so on. It turns out that
there are only 17 of them so it is a neat way of classifying wallpapers.
The above wallpapers both belongs a group called p6m.
Another,
more surprising, use of groups is in physics. It seems like the laws of
nature follow certain symmetries. For example, if one transform Newtons
second law F=ma, 10 minutes into the future it is
still the same. That the laws of nature does not change from one day to
the next seems to indicate that they are symmetrical with regard to
time-transformation. Neither do they change from one place to the next
so transformations in space are also allowed. Since it is possible to
transform time and space in arbitrarily small or large chunks the groups
describing these, Lie groups, contains an infinite amount of elements.
Interestingly
it turns out that these symmetries are all related to a conservation
law each. Time symmetry entails the conservation of energy, space
symmetry the conservation of momentum, angular symmetry (nature looks
the same from all angles) the conservation of angular momentum and so
on. This was show by Emmy Noether by just combining the symmetries with
the principle of least action, a law of nature that states that nature
tend to “take the shortest path”.
I
find it interesting how much of all the complexity and apparent chaos
of nature can be explained by such intuitive concepts as “laws of nature
does not change from day to day” and “nature tend to take the shortest
path”.
Back to fields
End of intermezzo, where were we? Right, we were talking about x³−3=0 and its roots and fields.
The field of that equation is Q(³√2,
ζ) and it would be natural to think that it looks like this: a+b³√2+cζ,
but that is wrong. The reason for this is that we want our field to be
“Closed”. That is, if we add or multiply two elements in the field we
want to stay in the field. So for example ³√2 and ζ are both in the
above field but ³√2ζ is not.
Subfields and subgroups
Looking at our examples of degree 3 above we have
It
would seem like the second field and group are more complex than the
first field and group. We can guess this by just counting the number of
terms in the field case or the number of automorphisms in the group
case. But just counting does not seem to really capture what it means to
be complex. Take for example the group C₁₂. Lots of elements, but it only rotates the roots, so it doesn’t really seem all that complex. A corresponding field is Q(e^π/6). It will contain e^π/6,e^2π/6… but again, not very complex.
Worrying
about how complex a group is is going to be key to understanding why
some roots can’t be described by only radicals, remember.
To
get a better way of appreciating the complexity we are going to
introduce the concept of a “Subfield” and a “Subgroup”. A subfield is
when you remove some of the terms but you still have a closed field.
Similarly, a subgroup is when you remove some of the automorphisms but
still have a closed group.
In the first case Q(√2), the only thing one can do is remove the √2 in the field and one of the two automorphisms in the group (we cannot remove (e) and still have a group).
As for the second case Q(³√2, ζ),
it gets a bit more complicated. One can manually distill the
sub-field/groups by just removing elements one at a time and see if the
resulting field/group is closed. After a while we arrive at this:
Interesting,
both the field and the group have four constituents. Now, it would be a
reasonable guess that the subgroups always contains exactly the
automorphisms of the subfields. But they don’t.
Fixed fields
Don’t worry, we’re almost there, it’s just a tiny bit more complicated. To see this, let’s have a look at the field Q(⁴√2, i) and its subfields.
The subgroup lattice is upside down in this picture with D₄ at the bottom, I will get to that shortly, but let’s first look at the subfields contra the subgroups. Q(⁴√2, i) has 5 large subfields and 3 small sub-subfields, but D₄ only has large 3 subgroups and 5 smaller sub-subgroups.
It
would seem like there are not enough large groups to permute the 5
large fields. If you were to play around with the subgroups and
subfields you would eventually come to the conclusion that the subgroups
actually permute not the subfields, but rather everything that is not
in the subfields, that they “fix” or do not touch the subfields.
So for example (f) fixes Q(⁴√2) and (r², f) fixes Q(√2).
Why is it this way rather than the other way around, as we first guessed?
I
don’t have an intuitive way of explaining this, the way I see it is
that we discovered it empirically and now we can try to prove it. The
proof goes sort of like this:
Hand-wavy fundamental theorem of Galois theory proof sketch
We
want to show that if we turn the subgroup lattice upside down we get a
one-to-one correspondence with the subfield lattice where the fields are
the fixed fields of the groups.
First,
I would like to point out that it is reasonable (sort of) that this is
the case. At the bottom group, we have all the automorphisms, who of
course move around everything except Q (fixes Q), and at the top, we only have the e-automorphism, which moves around nothing (fixes everything).
If
we start at the bottom group and remove a few of the automorphisms, the
removed automorphisms will no longer move around a small part of the
field and will thus fix that part of the field. As we remove more
automorphisms a larger and larger part of the field will be unaffected
and thus we will have a larger fixed field.
To
be a bit more rigorous we will need to be able to compare the size of
the group and the field. The group size is, of course, the number of
automorphisms in it. The size of the field is the number of terms. These
two happen to be the same, but why is this the case?
Quotient
Now,
we could look at the S₅ subgroup lattice of the quintic and see that
indeed it looks pretty complex. But in order to tie this together with
radicals we need a way to analyze complexity between groups and its
subgroups. That is: How much more complex is D₄ than C₄ for example? To
do this we introduce the concept of a “Quotient”. A quotient is
basically group division. How does that work?
In
ordinary division we do something like this: To divide 15 apples on 5
persons, we group the apples in the apple-set in 5 equal piles and every
pile will correspond to a person in the person-set. The answer to the
question 15/5 is 3, one of the piles, any pile will do since they are
equal.
A
similar thing happens when we divide groups. To divide D₄ by C₄ we
group the 8 elements of D₄ in 4 equal groups, one for each element in
C₄. How do we make the groups equal? It’s not like the elements are all
identical apples. They can be very different automorphisms for example.
Well, quotients are not always possible for exactly that reason. But
sometimes a group can be divided into “Cosets”. Say we divide D₄ in 4
equal parts with 2 elements in each. If we are lucky we can have 4 piles
of elements where the relation between the two elements are the same in
all of the piles. To be able to do this the original group have to
display a high level of self similarity. To see this, let’s look at a
Cayley graph of D₄.
As
one can see there is in fact a high level of self similarity here. The
top-left, top-right, bottom-left and bottom-right corner all looks the
same. This is our cosets.
So D₄/C₄ is basically one of these cosets, which is C₂. Hence: D₄/C₄=C₂.
Now,
by introducing quotients we actually have a concept of how to build
groups from the ground up. Just as 21 consists of 3 and 7, so do groups
consist of their subgroups. And just as we can get the constituents of a
number by dividing, 21/7=3, so we can get the constituents of a group
by taking the quotient. Since D₄/C₄=C₂, this means that if we have a C₄
group, we have to multiply it by C₂ to get to D₄. Since there is a
correspondence between fields and groups, this will play a role in how
we construct fields.
Radicals
Subgroups of the quintic
Now, I wont show a picture of the group lattice of S₅ because it is too big, but I will say a couple of things about its subgroups. One of the subgroups is A₅ (Alternating group) which is easily checked. To get from A₅ to S₅ we need S₅/A₅=C₂. Thus, we can get there by radicals, but: One subgroup of A₅ is (e), but A₅/e is not a cyclic group. This is true for any An with n≥5 by the way. Thus we cannot get there by radicals and alas, any polynomial of degree≥5 cannot be solved by radicals.
And
that is how Galois, as a teenager, invented the concept of a group to
prove a long standing open question about the unsolvability of the
quintic⁹.
Trisecting the angle
One
fun bonus fact we get from the machinery surrounding Galois theory, in
this case the tower law for fields, is a nice proof of a problem that
stumped humanity since the ancient Greeks, namely: The impossibility of
trisecting an angle with a straightedge and a compass. Apparently the
Greeks loved to draw things in this manner and were curious about the
limitations of the method.
One
example is finding a point in the middle of two other points. To do
this, set the compass on the two point and draw first a circle around
one and then around the other. Use the straightedge as a ruler and draw a
line between the points and then between the points where the circles
cross. The middle is were the lines cross.
But
how does this way of drawing translate to field theory? Well, one can
see the above problem as, say we have a field of two points, (x₁,y₁) and (x₂,y₂). We would like to extend the field to also contain the middle point. To do this we find the intersections of the circles (x−x₁)²+(y−y₁)²=r and (x−x₂)²+(y−y₂)²=r. We get two new points (x₃, y₃) and (x₄,y₄). The line between them is y=(y₄−y₃)/(x₄−x₃)x. The line between the first two points is y=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)x. Solve for x to get were they cross.
Apparently, straightedge and compass constructions amount to solving equations of degree one and two.
But what does trisecting an angle amounts to?
The triple angle formula yields:
But
since using a straightedge and compass was the same as solving one and
two dimensional equations the only field extensions possible is 2 for
one operation, and then using the new points we can get to powers of 2: 4,8,16 etc but never 3.
Although it’s impossible to trisect the angle using only a straightedge and compass it is possible using origami.
Solving the general Quintic
It should be said that, although the general quintic cannot be solved by radicals, it can be solved by the “Jacobi theta function”.
References
Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. Jörg Bewersdorff
Covid19: immunité croisée avec les autres coronavirus, phénomènes immunopathologiques - Anthropo-logiques
Continuant à échanger avec nombre de scientifiques et penseurs
autour de l'épidémie en cours, j'ai l'honneur et la joie de publier un
second article de Mme Hélène Banoun, Pharmacien biologiste, ancien
Chargé de Recherches INSERM. Mme Banoun nous avait déjà fait l'honneur d'un premier texte
"Covid-19 et évolution du virus, ce qu'on peut en dire fin juin 2020",
publié sur ce blog le 1er juillet, qui avait rencontré un grand intérêt. Elle aborde ici une sujet très important et qui suscite bien
des questionnements : qu'en est-il de l'immunité croisée entre le
Sars-CoV-2 et les autres coronavirus ? En la remerciant chaleureusement pour son autorisation de publier ce texte passionnant, je vous invite à sa lecture ! RÉSUMÉ Le faible pourcentage d'individus ayant développé une Covid-19
symptomatique dans la population peut s'expliquer par l'immunité croisée
avec les autres coronavirus. Ce phénomène repose sur l'immunité
cellulaire. L'immunité humorale (médiée par les anticorps) pourrait par
contre être responsable en partie de certains phénomènes
immunopathologiques. La balance entre cette immunité cellulaire bénéfique et ces
phénomènes immunopathologiques pourrait expliquer d'une part la faible
représentation des enfants parmi les malades et d'autre part la forte
létalité chez les personnes âgées. Pour faire face à une prochaine pandémie il faudrait donc
chercher comment on peut d'une part protéger les populations fragiles et
d'autre part améliorer l'état immunitaire de la population mondiale
d'un point de vue de santé globale. Ceci n'est pas uniquement un problème sanitaire mais un
problème de société et également un problème économique comme celui de
l'état du système de santé de la planète. Introduction Beaucoup de questions concernant la progression de la Covid-19 depuis l'émergence du virus SARS-CoV-2 restent sans réponse. L'histoire récente (avec les connaissances acquises lors de
l'épidémie de SARS de 2003-2004 et la biologie des coronavirus communs)
ne doit pas être négligée (Freymuth et al., 2009, Groneberg et al.,
2004). Il semble que les hypothèses explicatives actuellement avancées
ne s'y réfèrent pas assez. Le rôle de l'immunité croisée avec les autres coronavirus
(virus des rhumes banals et SARS-Cov-1) a été évoqué récemment pour
expliquer la faible de proportion de personnes ayant développé la
Covid-19 (et semble-t-il la faible proportion de personnes séropositives
avec les tests actuels disponibles). IMMUNITÉ CROISÉE ENTRE COVID ET AUTRES INFECTIONS À CORONAVIRUS Il s'agit de l'immunité cellulaire (pour les coronavirus
banals, SARS et MERS, les anticorps disparaissent au bout de 2 à 3 ans,
l'immunité cellulaire persiste 11 ans (Ng et al., 2016) En effet, le rôle de l'immunité humorale n'a pas été démontré
dans cette immunité croisée. Une publication d'avril 2020 (Pinto et al.
2020) teste un anticorps monoclonal isolé chez un patient survivant du
SARS-Cov-1 de 2003 et tente de montrer une neutralisation croisée du
SARS-CoV-2 de 2019. Cet anticorps monoclonal est dirigé contre le
domaine de liaison de la spike protéine présente à la surface du virus
et caractéristique des coronavirus. Mais il s'agit de pseudovirus
(recombinant entre MLV – murine leukemia virus et SARS) ; ils étudient
la neutralisation in vitro sur cellules Vero transfectées avec l'ACE2
humain (donc un seul « récepteur » du virus). Donc cette étude trop
éloignée de ce qui pourrait se passer in vivo ne peut pas prouver une
immunité humorale croisée entre SARS-CoV-1 et SARS-Cov-2. De plus les
résultats de Sekine et al (29 juin 2020) confirment que les anticorps
jouent peu de rôle dans l'immunité acquise contre le SARS-CoV-2 en
comparaison avec l'immunité cellulaire. Il faut donc se tourner vers l'immunité cellulaire contre ce
virus. La sérologie (recherche des anticorps, donc immunité humorale)
sera abordée plus bas en rapport avec les phénomènes immunopathologiques
retrouvés dans la Covid-19. Rappel sur l'immunité cellulaire Les cellules CD4+ et CD8+ sont des effecteurs de l'immunité
cellulaire et coopèrent avec les lymphocytes B responsables de la
production d'anticorps et donc de l'immunité humorale. Ces cellules sont
activées lors d'une infection. Ces 2 types cellulaires synthétisent des
cytokines ayant différents rôles. Les CD8+ sont plutôt des lymphocytes
«tueurs» capables de détruire les cellules infectées par cytolyse et de
produire des cytokines nécrosantes, les CD4+ produisent plutôt des
interférons et interleukines qui sont des cytokines effectrices des
réponses Th1 (orientée vers l'immunité cellulaire) et Th2 (orientée vers
la production d'anticorps). Ces cellules sont responsables aussi bien
des effets bénéfiques (élimination des pathogènes) que délétères
(immunopathologie). Le rôle de l'immunité croisée avec les autres
coronavirus (virus des rhumes banals) a été évoqué en 2004 à la suite de
l'épidémie de SARS-CoV-1 de 2003. (GIOIA, 2004) Qu'en est-il en 2020
avec le SARS-CoV-2? En avril 2020, l'équipe de Drosten à Berlin
(Braun et al., 2020) a recherché la réactivité cellulaire vis à vis du
SARS-CoV-2 chez des patients ayant développé une Covid-19 modérée ou
sévère. Seuls les épitopes (déterminants antigéniques) de la Spike
protéine ont été testés. Seules les cellules CD4+ ont été testées (pas
les CD8+). 83% des patients avaient des CD4+ réactives aux épitopes de la
Spike protéine. La réactivité croisée avec les coronavirus des rhumes
banals concerne les épitoptes de la spike différents du domaine de
liaison du récepteur. Tous les donneurs sains (non infectés par la
Covid-19) avaient des anticorps contre les HCoV (coronavirus humains
banals). Également en avril 2020 Grifoni et al.,
étudient la réponse cellulaire de jeunes adultes exposés au SARS-CoV-2
et ayant développé une infection bénigne ou modérée. Les épitopes testés
sont tous ceux de la Spike ainsi que des protéines de structure M
(membrane) ,N(nucléocapside) et des protéines non structurales NSP: 100%
des CD4+ et 70 % des CD8+ des patients guéris sont réactives. La
réactivité des CD8+ n'est pas principalement dirigée contre les épitopes
de la spike. Une réactivité des cellules des non exposés est retrouvée
envers les antigènes des parties conservées des protéines structurales
et non structurales des HCov : une immunité croisée contre les rhumes
banals et le SARS-CoV-2 est donc fortement probable. En mai 2020, une équipe de Singapour (Le Bert et al., 2020) a
recherché les cellules T spécifiques qui étaient associées à la
clairance virale chez 24 malades convalescents atteints de Covid moyen à
sévère. Cette équipe a mis en évidence une réactivité envers les
épitopes de la nucléocapside et de protéines non structurales de la
région ORF1. La région ORF1 contient des domaines qui sont extrêmement
conservés parmi de nombreux coronavirus différents. Les cellules T
spécifiques des protéines de structure virales ont une capacité de
protection dans les modèles animaux d'infection des voies respiratoires.
Cette étude montre qu'il existe une réactivité croisée avec les
épitopes de la NP et des NSP chez des personnes non exposées au
SARS-CoV-2, donc suggère une immunité croisée entre celle dirigée contre
les HcoV des rhumes banals et celle contre le SARS-CoV-2. Ces trois études vont donc dans le même sens et tendent à
prouver l'existence de cette immunité croisée entre rhumes banals et
Covid-19. Cette immunité est dirigée logiquement contre des antigènes
communs à tous les coronavirus et non contre les antigènes spécifiques
du SARS-Cov-2. Ces antigènes communs sont retrouvés sur les protéines
structurales N, M et Spike et aussi sur les protéines non structurales
(dont les enzymes de réplication de l'ARN viral). Cette immunité croisée
pourrait donc expliquer le faible pourcentage de malades du Covid-19
parmi la population (hormis chez les personnes âgées et les malades
chroniques). Il n'est pas étonnant de trouver cette immunité croisée d'après
ce que l'on sait de la répartition des infections à coronavirus banals. Immunité envers les virus des rhumes communs : la réponse
cellulaire est inversement proportionnelle à la durée d'excrétion du
virus, mais indépendante de la gravité des symptômes et du taux
d'anticorps après guérison. Kirkpatrick, 1996 Les HCov causent 15% à 20 % des rhumes chez les adultes
(Greenberg 2016) On retrouve des HCov chez 5,4% des adultes hospitalisés
pour infection respiratoire basse, chez 3 à 8% des enfants de moins de 5
ans hospitalisés avec une maladie respiratoire aiguë (Zimmerman, 2020). En 2006 à Hong Kong, 200 hospitalisations par année et pour 100
000 enfants de moins de 5 ans étaient dues à des HCov. Les enfants, les
personnes âgées et les personnes affaiblies sont les plus susceptibles
d'être hospitalisées pour des symptômes respiratoires dus à des HCoV.
(Van Der Hoek,2006) D'après une étude épidémiologique (Gaunt, 2010); la plupart des
individus font une séroconversion aux 4 HCov communs connus dans
l'enfance et ces 4 virus sont détectés dans toutes les tranches d'âge et
à une fréquence égale, ils causent des infections tout au long de la
vie. Les ENFANTS sont-ils MOINS ATTEINTS ? Il apparaît de plus en plus que les enfants sont autant
atteints que les adultes mais ne développent que très rarement la
maladie et encore plus rarement une maladie sévère (voir les bulletins
épidémiologiques Santé Publique France, entre autres). Dans une
publication de début juin (IHU, 2020) l'IHU Marseille montre que la
proportion d'enfants testés positifs est un peu plus faible que celle
des adultes, la charge virale des enfants est légèrement inférieure à
celle des adultes et la durée d'excrétion du virus est plus courte. À Berlin en juin 2020, Drösten et son équipe (Jones, 2020) ne
trouvent pas de différence significative entre les charges virales chez
les enfants et chez les adultes. Les enfants seraient autant capables
que les adultes de transmettre le virus et, comme à Marseille, ils sont
contaminés dans les foyers puisque les écoles étaient fermées. (Remarque sur la « charge virale »: cette expression peut
signifier deux notions différentes. Soit la quantité de virions qui
infecte un individu lors de la contagion, soit la quantité produite par
cet individu suite à la contagion et la multiplication du virus dans les
tissus cibles. C'est cette charge virale qui est estimée par la Rt-PCR.
La première grandeur (charge virale lors de la contagion) est
simplement supposée, pour mesurer son impact il faudrait entreprendre
des contagions volontaires avec différentes charges virales sur des
humains, ce qui n'est évidemment pas envisageable. Mais il est admis en
virologie que cette charge virale initiale détermine beaucoup
l'évolution de la maladie.) Concernant la très faible représentation des enfants parmi les
malades, le rôle de l'immunité croisée avec les rhumes banals a été
avancé : ceci est discutable. En effet, comme vu plus haut toutes les
tranches d'âge de la population sont régulièrement affectées pas les
coronavirus banals et présentent une immunité envers ceux-ci. Nous
verrons ci-dessous, dans la discussion des phénomènes
immunopathologiques que l'inverse pourrait également être le cas étant
donné le nombre cumulatif accru d'infections par les HCoV chez les
patients plus âgés. D'autres hypothèses pour expliquer la résistance des enfants à
la maladie sont listées par King, 2020. Il évoque le rôle joué par le «
récepteur » du virus, l'ACE2, et sa plus ou moins grande expression chez
les enfants ; il semble difficile d'attribuer un tel phénomène de
résistance des enfants à la seule variable d'un des récepteurs
identifiés du virus. IMMUNITÉ INNÉE, PHÉNOMÈNES IMMUNOPATHOLOGIQUES, RÔLE DES ANTICORPS Immunité innée, phénomènes immunopathologiques Dès 2007 (Cameron, 2007), le rôle décisif de l'immunité innée
et des phénomènes immunopathologiques avait été évoqué à propos du
SARS-CoV-1: cette immunité innée antivirale est caractérisée par la
production d'interférons. La déficience de l'immunité innée permet au
virus de se multiplier (évasion immunitaire du virus); suite à la charge
virale importante à laquelle est alors soumis le patient, se
développent les phénomènes immunopathologiques. D'après Grifoni, 2020, chez les personnes âgées, les APC
(cellules présentatrices d'antigènes) fonctionnent moins bien et
présentent mal l'antigène aux cellules myéloïdes, il y a donc évasion
immunitaire du virus et amplification des phénomènes immunopathologiques
car il y a production de grandes quantités de virus. Pour le SARS-2 et Vabret, 2020, King, 2020. Grifoni et al.,
2020, les formes graves sont associées à de grandes quantités de
cytokines, ces cytokines sont associées aux phénomènes
immunopathologiques. Le SARS de 2003-2004 est plus proche du Covid-19 que ce qu'il
ressort des références qui y sont faites aujourd'hui. Ses
caractéristiques cliniques étaient finalement assez comparables au Covid
(et en partie aussi à celles des maladies à coronavirus communs chez
les immunodéprimés): la gravité de ces infections est toujours
déterminée par le terrain du patient. Une publication de 2008 concernant le SARS de 2003 (Li, 2008
montre chez les personnes âgées une modification dans la balance de
l'immunité Th1 (orientée vers la protection) et Th2 (orientée vers les
phénomènes inflammatoires) en faveur de cette dernière. En 2020, des immunologistes reprennent cette hypothèse :
Kingston Mills du Trinity College de Dublin et Stanley Perlman de
l'université de l'Iowa, évoquent aussi cette balance entre les immunités
Th1 et Th2 différente en fonction de l'âge (King, 2020) Rôle des anticorps dans ces phénomènes immunopathologiques Pour le SARS-CoV-2, les premiers résultats de séroprévalence en
fonction de la sévérité de la maladie montrent une nette corrélation :
(Wölfen, avril 2020, Chine, 28 mars, Yu, 2020, Institut Pasteur,
Grzelak, avril 2020).: plus la maladie a été sévère, plus les taux
d'anticorps sont élevés. De même les résultats récents (Xin Xu et al., 2020, Chine, 5
juin) laissent penser que seuls les malades sévères de la Covid font des
anticorps contre la protéine de surface Spike. Les tests Elisa courants
sont trop spécifiques de cette protéine d'où les très faibles
séroprévalences trouvées ici (3,5% en moyenne à Wuhan). Les personnes infectées mais peu ou pas symptomatiques ne
développent pas ce type d'anticorps spécifiques du SARS-CoV-2, elles
auraient été protégées par leur immunité croisée envers les coronavirus
des rhumes banals. Nous avons vu plus haut que cette immunité croisée
était dirigée contre des déterminants antigéniques non spécifiques du
SARS-CoV-2. À Zürich (Cervia et al., 2020) les patients avec Covid modérée
ont des taux faibles d'IgG et IgA sériques spécifiques de la Spike. Les
patients avec Covid sévère ont des taux d'IgG et IgA d'autant plus
élevés que la maladie a été sévère. La théorie immunologique orthodoxe nous dira que les anticorps
sont synthétisés en plus grande quantité pour défendre le malade contre
le virus. On peut dire, au contraire que le taux élevé d'anticorps est en
partie responsable de la gravité de la maladie : le dérèglement
immunitaire dû à la réaction inadéquate du patient à l'infection a
induit une réaction de type Th2 (humorale et à tendance inflammatoire)
plutôt que Th1 (cellulaire). À quoi est due cette réaction inadéquate ? Certainement au mauvais état de santé global des patients
atteints de Covid sévère (ils avaient quasiment tous des comorbidités). Comment expliquer l'aggravation de la maladie par le taux d'anticorps élevé ? En partie, certainement au moins, par l'effet facilitateur de
l'infection engendrée par les anticorps (comme proposé pour le SARS1:
Cameron, 2007). Pour une revue complète sur les effets facilitateurs des
anticorps dans de nombreuses infections virales voir Taylor et al.,
2015; pour les coronavirus: Wan et al., 2020; Roper et Rehm, 2009. Une publication de biologie moléculaire pourrait confirmer ce
mécanisme (Wan et al., 2020). Elle montre magistralement (mais bien loin
de ce qui peut se produire in vivo lors de l'infection d'un humain par
le SARS-CoV-2), que le phénomène d'ADE (antibody dependent enhancement,
facilitation de l'infection médiée par les anticorps) pourrait expliquer
la seconde phase de dégradation de l'état clinique chez certains
patients. Cette étude a été publiée en mars 2020, elle concerne le
SARS-CoV de 2003 et le MERS mais vu la proximité du SARS-CoV-2 avec le
SARS-CoV, elle pourrait être valide pour le SARS-CoV-2. Il y est démontré in vitro que ces 2 premiers virus ont une
pénétration cellulaire facilitée par les anticorps se liant à la
protéine spike (au site du récepteur). Les coronavirus sont connus
depuis des décades pour présenter cet ADE, comme d'autres virus (dengue,
ebola, Hiv, etc...), mais ce qui est montré ici contrairement aux
autres virus, c'est que l'ADE peut se produire avec la même souche. À
l'inverse, tous les ADE montrés jusqu'ici l'avaient été avec des souches
proches mais différentes antigéniquement. L'ADE ici dépendrait du taux d'anticorps, de l'expression
spécifique dans les tissus des récepteurs viraux et des récepteurs du
fragment Fc des immunoglobulines et de caractéristiques intrinsèques
(affinité) des anticorps produits. In vivo, ce mécanisme pourrait expliquer le rebond de la maladie. Chez les patients affaiblis, l'immunité innée serait incapable
d'éliminer le virus et ensuite, lorsqu'apparaissent les anticorps,
ceux-ci occasionneraient l'ADE par l'invasion des tissus présentant les
récepteurs spécifiques. Ces anticorps pourraient aussi être concomitants
de la réponse immunologique Th2 qui se caractérise par une réaction
inflammatoire exagérée. En effet les taux d'anticorps sont plus élevés
chez les patients sévères (Okba et al., 2020) et les anticorps capables
de se lier au récepteur et neutralisants sont plus élevés chez les
adultes âgés (Gorse et al., 2020). Chez les personnes en bonne santé, l'immunité innée est capable
de limiter fortement la multiplication virale et évite le deuxième
stade de la maladie (le stade inflammatoire). Cette immunité innée est
médiée par des cellules non spécifiques d'un antigène particulier ; la
réponse innée est rapide et capable d'éliminer le virus avant
qu'intervienne la réponse adaptative productrice d'anticorps. CONCLUSION On pourrait conclure de tout cela que les recherches sur la
structure du virus et l'immunité spécifique développée par son hôte sont
nécessaires mais ne peuvent suffire pour anticiper une future pandémie à
virus émergent. Grâce à ces à connaissances acquises sur le SARS-Cov-1
et au séquençage rapide du virus émergent, on a su très tôt que le virus
responsable de la Covid était un SARS proche cousin de celui de 2003. Au niveau de la santé publique, c'est l'immunité globale de la
population et l'état du système de santé qui sont les variables les plus
importantes. Les cas graves de Covid sont apparus chez les individus au
système immunitaire défaillant (personnes âgées, immunodéprimés,
diabétiques, obèses, etc.), pour faire face à une prochaine pandémie il
faudrait donc chercher comment on peut d'une part protéger les
populations fragiles et d'autre part améliorer l'état immunitaire
(immunité non innée spécifique) de la population mondiale d'un point de
vue de santé globale. Ceci n'est pas uniquement un problème sanitaire
mais un problème de société et également un problème économique comme
celui de l'état du système de santé de la planète. RÉFÉRENCES (dans l'ordre de citation dans le texte) Freymuth et al., 2009 https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7125620/ Groneberg et al., 2004 https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC548145/pdf/1465-9921-6-8.pdf Ng et al., 2016, https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/26954467/ Sekine et al., https://www.biorxiv.org/content/10.1101/2020.06.29.174888v1 Pinto et al. 2020 https://www.nature.com/articles/s41586-020-2349-y Gioia, 2004, https://journals.sagepub.com/doi/pdf/10.1177/039463200501800312 Braun et al., 2020-1, https://www.medrxiv.org/content/10.1101/2020.04.17.20061440v1.full.pdf Grifoni et al., 2020 https://www.cell.com/cell/pdf/S0092-8674(20)30610-3.pdf Le Bert et al., 2020, https://www.biorxiv.org/content/biorxiv/early/2020/05/27/2020.05.26.115832.full.pdf Kirkpatrick, 1996 https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7125839/ Greenberg 2016 https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7171723/ Zimmerman, 2020, https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7158880/ Van Der Hoek, 2006, https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7109777/ Gaunt, 2010, https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/20554810/ IHU, 2020 https://www.mediterranee-infection.com/wp-content/uploads/2020/06/302-first-pediatric-patients-COVID-diagnosed-in-Marseille.pdf Jones, 2020 https://virologie-ccm.charite.de/fileadmin/user_upload/microsites/m_cc05/virologie-ccm/dateien_upload/Weitere_Dateien/Charite_SARS-CoV-2_viral_load_2020-06-02.pdf King, 2020 https://www.the-scientist.com/news-opinion/possible-biological-explanations-for-kids-escape-from-covid-19-67273 Cameron, 2007 https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/17537853/ Vabret, 2020, https://umfcs.u-bordeaux.fr/documents/informations-covid-19/publications-scientifiques/1-s2.0-S1074761320301837-main.pdf Li, 2008 http://europepmc.org/article/PMC/2683413#free-full-tex Yu, 2020 https://academic.oup.com/cid/advance-article/doi/10.1093/cid/ciaa345/5812997 Grzelak, avril 2020, https://www.medrxiv.org/content/10.1101/2020.04.21.20068858v1 Xin Xu et al., 2020, https://www.nature.com/articles/s41591-020-0949-6.pdf Cervia et al., 2020, https://www.biorxiv.org/content/10.1101/2020.05.21.108308v1.full.pdf Wan et al., 2020 https://jvi.asm.org/content/94/5/e02015-19 Okba et al., 2020 https://doi.org/10.1101/2020.03.18.20038059) Gorse et al., 2020 https://onlinelibrary.wiley.com/doi/epdf/10.1002/jmv.25715 Taylor et al., 2015 https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/imr.12367 Wan et al., 2020, https://jvi.asm.org/content/94/5/e02015-19 Roper et Rehm, 2009 https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/19538115/
