11/04/2021

approche probabiliste

 

Ajouter des nombres infinis : une approche probabiliste de la philosophie mathématique

Illustration de Veronika Vřešťálová

(traduction automatique)
Probabilité théorique et expérimentale : lancer des pièces
Une scène amusante du film turc, Korkusuz Korkak
Malheureusement, la méthode consistant à lancer une pièce deux fois ne fonctionne pas aussi bien.
TTTT HHHH TTTH HHHT TTHT HHTH HTTT THHHTTHH HHTT THHT HTTH HHTT TTHH THTH HTHT
Donc, nous ne pouvons pas non plus trouver la réponse à cette méthode.

En résumé, la réflexion théorique ne nous aide pas à tirer notre conclusion ici. Dans la vraie vie, nous ne pourrions jamais comprendre si une pièce ou un dé est juste ou biaisé simplement en le retournant - ce qui signifie qu'une pièce ou un dé juste est un concept purement cognitif. Chaque dé ou pièce est biaisé : le dé ou la pièce juste n'existe pas. Même si nous utilisions des ordinateurs pour produire des dés, ils s'useraient quand nous les lancions et deviendraient biaisés.

Par exemple, si 1 000 personnes ont participé à notre sondage et que 450 personnes ont voté pour le parti A, nous nous attendrions à ce que le parti A obtienne 45 % des voix des élections. Cependant, il est presque impossible d'obtenir exactement 45% des voix lors des élections. Le parti A obtiendrait 45.00000000001 des voix, ce qui est différent de 45%. C'est pourquoi il est peu probable qu'il donne un résultat exact en faisant confiance à 1000 personnes sur 50 millions. Alors, comment les sociétés de sondage survivent-elles ? Si j'étais le fondateur d'une société de sondage, je rapporterais plutôt un résultat exact en disant que la partie A obtiendrait entre 0 % et 100 % de participation aux élections.45% des 50 millions de personnes douteront de choisir le parti A car il est impossible d'obtenir les résultats de 1000 personnes sur 50 millions de personnes. Je veux savoir à 100 pour cent s'ils me le demandent. Ensuite, je dirais que le taux que la partie A obtiendrait se situe entre 0 et 100 pour cent. Par conséquent, la société d'enquête estime "entre 40 et 50 pour cent" au lieu de dire "45 pour cent" - grâce à quoi la probabilité de tenir les prévisions électorales augmente.
Le diagramme d'écart type
Le Galton Board : 3000 billes d'acier tombent à travers 12 niveaux de chemins de branchement et finissent toujours par correspondre à une distribution de courbe en cloche. Source : Quanta Magazine
Exemples d'œuvres de Picasso : À gauche : Femme assise dans un fauteuil | A droite : femme assise
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Pour faire des mathématiques, cependant, nous avons besoin d'attentes rationnelles. Là où il n'y a pas d'attentes, il n'y a pas de science.

Maintenant, que diriez-vous de jouer à ce jeu un milliard de fois ? Eh bien, c'est techniquement impossible car une durée de vie moyenne de 80 ans équivaut à 2 milliards de secondes. En pratique, une telle chose n'est pas possible et n'a aucun sens. Ainsi, nous ne savons pas si ce jeu se terminera ou non, mais au moins nous avons appris que nous pouvions jouer à ce jeu un nombre infini de fois dans notre esprit.

t/n = (500 millions x 1 + 250 millions x 2 + 125 millions x 3 + ….) / 1 milliard.
t/n = [1/2¹ x 1] + [1/2² x 2] + [1/2³ x 3] + … (jusqu'à un milliard)
t/n = [1/2¹ x 1] + [1/2² x 2] + [1/2³ x 3] + … à l'infini.
Nous pouvons trouver Pi en divisant la circonférence d'un cercle par son diamètre. Cependant, ce n'est pas aussi facile qu'il y paraît. Par exemple, nous ne pouvons jamais obtenir une valeur absolue en ramassant une corde, en l'enroulant autour de la roue de notre vélo et en mesurant la longueur. Ce que nous pouvons faire, c'est trouver une valeur approximative. Par exemple, mesurons la circonférence de la roue du vélo comme 7-quelque chose. Alors qu'est-ce que c'est que quelque chose ? Soit 7,45. Alors quoi ? Nos yeux ne sont pas assez forts pour trouver le nombre suivant. Nous devrons peut-être regarder la corde que nous utilisons pour mesurer la circonférence de la roue avec un microscope.
Picycle
3 + 1/10 + 4/10² + 1/10³ + 5/10⁴ + …3 
0,1
0,04
0,001
0,0005
0,00009
0,000002
0,0000006
..........
...........
............
+__________________
2.357911131719232931374143475361... est un nombre composé de nombres premiers, et il ne se termine jamais.1.2345678910111121314151617181920... est un nombre qui se compose de nombres naturels et s'étend indéfiniment.
2.357911131719232931374143475361.... 
1.2345678910111121314151617181920...
+__________________________________________
En d'autres termes, la somme est supérieure à trois mais inférieure à 5.
Ainsi, la somme est supérieure à 3,5 mais inférieure à 3,7.
Or, la somme est supérieure à 3,58 mais inférieure à 3,60.
Maintenant, nous voulons déterminer la somme infinie det/n = [1/2¹ x 1] + [1/2² x 2] + [1/2³ x 3] + … à l'infini.
- Au premier lancer, c'est face et nous avons obtenu 1 point avec 1/2 probabilité. 
- Au deuxième lancer, TH est venu, et nous avons obtenu 2 points avec 1/4 de probabilité.
- Au troisième lancer, TTH est venu, et nous avons obtenu 3 points avec 1/2³ de probabilité.
- .........
Comme vous pouvez le voir, ce processus peut durer éternellement.
(1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ……) + p = 1La partie gauche avec parenthèses est la probabilité de terminer le jeu, p est la probabilité de ne pas terminer le jeu. Si nous pouvons trouver la valeur de p, nous trouverons nos attentes.
b= 1/2 x 1 + 1/2² x 2 + 1/2³ x 3 + …
1/2 = 0,5 
1/4 = 0,25
1/8 = 0,125
1/16 = 0,0625
1/32 = 0,03125
1/64 = 0,015625
1/128 = 0,0078125
1/256 = 0,00390625
1/512 = 0,001953125
1/1024 = 0,0009765625
1/2048 = 0,00048828125
.......................
................................ ..
.........................

Comment additionner des nombres infinis ? La collection normale commence à l'extrême droite, mais comme nous n'avons pas de chose appelée «extrême droite» dans un nombre infini, nous devons recommencer à l'extrême gauche.

Le total sera de 0.99999999…. Les neuf dureront éternellement.
1 – 0,9999999999... = p
1 
0,999
-_______
0,001
1 
0,9999
-_______
0,0001
a = 0,0000000000………… 1 
10a = 0,0000000000………… 1 à nouveau. Exactement la même chose. Ainsi;
10a = a
9a = 0
a = 0.

Fait amusant, la grande majorité des gens connaissent le nombre 0.9999999999… comme inférieur à 1, mais ce nombre est en fait égal à 1. L'erreur vient du fait qu'ils ne connaissent pas la somme infinie.

0,9999999… par définition est égal à 1.Donc, si 0.999999... + p = 1, alors p=0.

Cet article est écrit à partir d'une des conférences d' Ali Nesin sur Youtube.